Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando fatoração LU sem pivotamento parcial. Apresente as matrizes L e U e o vetor solução.
\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=6 \\\\ 2 x+3 y+z=10 \\\ x+2 y+4 z=13 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear e pede que eu o resolva usando fatoração LU sem pivotamento parcial, apresentando as matrizes L\) e \(U\) e o vetor solução. As equações são: \[\begin{cases} x+y+z=6\\[4pt] 2x+3y+z=10\\[4pt] x+2y+4z=13 \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 4\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}6\\[4pt]10\\[4pt]13\end{pmatrix}.
O que se pede explicitamente: encontrar matrizes L\] e \(U tais que A=LU (sem pivotamento) e, usando-as, obter o vetor solução x.]

Passo 2

O que é fatoração LU (modo Doolittle, que usarei): escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L com diagonal formada por 1s e uma matriz triangular superior U:
A = L\,U,
onde
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1 & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[4pt] 0 & u_{22} & u_{23}\\[4pt] 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}.
Por que isso ajuda a resolver o sistema? Porque, se A=LU, resolver Ax=b é equivalente a resolver em duas etapas:
  1. resolver Ly=b por substituição para frente (forward substitution);
  2. resolver Ux=y por substituição para trás (back substitution).
Fórmulas de substituição (explicação):
  • Forward substitution (para Ly=b): para i=1,\dots,n
y_i=\frac{1}{L_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}L_{ij}y_j\Bigr).
No caso Doolittle L_{ii}=1, então y_i=b_i-\sum_{j=1}^{i-1}L_{ij}y_j.
  • Back substitution (para Ux=y): para i=n,n-1,\dots,1
x_i=\frac{1}{U_{ii}}\Bigl(y_i-\sum_{j=i+1}^{n}U_{ij}x_j\Bigr).]

Passo 3

Como construir L e U sem pivotamento: executar eliminação de Gauss em A e registrar os multiplicadores usados para zerar abaixo dos pivôs. Esses multiplicadores são exatamente os elementos L_{ij} ( i>j). Vou fazer a eliminação passo a passo.
Matriz inicial:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 4\end{pmatrix}.
Pivot na linha 1: u_{11}=1. Zeramos as entradas abaixo na coluna 1:
  • Multiplicador para zerar a_{21}:
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{2}{1}=2.
Aplicando R_2\leftarrow R_2-2R_1:
R_2: \\ (2,3,1)-2(1,1,1)=(0,1,-1).
  • Multiplicador para zerar a_{31}:
\ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{1}{1}=1.
Aplicando R_3\leftarrow R_3-1R_1:
R_3: \\ (1,2,4)-1(1,1,1)=(0,1,3).
Matriz após primeira etapa:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Agora pivot na posição (2,2): u_{22}=1. Zeramos a entrada abaixo:
  • Multiplicador para zerar nova a_{32}:
\ell_{32}=\frac{\text{(novo)}\\ a_{32}}{u_{22}}=\frac{1}{1}=1.
Aplicando R_3\leftarrow R_3-1R_2:
R_3: \\ (0,1,3)-1(0,1,-1)=(0,0,4).
Matriz final triangular superior U (resultante da eliminação):
U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Os multiplicadores que preenchem L (com diagonal 1) são \ell_{21}=2, \ell_{31}=1, \ell_{32}=1. Logo
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
(Fazendo uma checagem rápida por produto: multiplicando L por U obtém-se a matriz A original — isso confirma que a fatoração está correta.)]

Passo 4

Agora uso L e U para resolver o sistema. Primeiro, resolver Ly=b por forward substitution.
Escrevo b e L:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}6\\[4pt]10\\[4pt]13\end{pmatrix}.
Cálculo dos y_i:
  • y_1 = b_1 = 6.
  • y_2 = b_2 - \ell_{21}y_1 = 10 - 2\cdot 6 = 10 - 12 = -2.
  • y_3 = b_3 - \ell_{31}y_1 - \ell_{32}y_2 = 13 - 1\cdot 6 - 1\cdot(-2) = 13 - 6 + 2 = 9.
Portanto
y=\begin{pmatrix}6\\[4pt]-2\\[4pt]9\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora resolver Ux=y por back substitution, com
U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}6\\[4pt]-2\\[4pt]9\end{pmatrix}.
Cálculo dos x_i (de baixo para cima):
  • Da terceira linha: 4x_3 = y_3 = 9 então
x_3=\frac{9}{4}.
  • Da segunda linha: 1\cdot x_2 + (-1)\cdot x_3 = y_2 = -2. Assim
x_2 = -2 + x_3 = -2 + \frac{9}{4} = \frac{-8+9}{4}=\frac{1}{4}.
  • Da primeira linha: x_1 + x_2 + x_3 = y_1 = 6. Assim
x_1 = 6 - x_2 - x_3 = 6 - \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = 6 - \frac{10}{4} = 6 - \frac{5}{2} = \frac{7}{2}.
Portanto o vetor solução é
x=\begin{pmatrix}\tfrac{7}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{4}\\[4pt]\tfrac{9}{4}\end{pmatrix}.]

Resposta

L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]2 & 1 & 0\\[4pt]1 & 1 & 1\end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & -1\\[4pt]0 & 0 & 4\end{pmatrix}
x=\begin{pmatrix}\tfrac{7}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{4}\\[4pt]\tfrac{9}{4}\end{pmatrix}]

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