Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando fatoração LU sem pivotamento parcial. Apresente as matrizes L e U e o vetor solução.
\left\{ \begin{array}{l} 2 x+y+z=9 \\\ x+3 y+2 z=13 \\\\ 3 x+y+4 z=17 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x+y+z=9\\[4pt] x+3y+2z=13\\[4pt] 3x+y+4z=17 \end{cases}
Informações relevantes:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[2pt]1 & 3 & 2\\[2pt]3 & 1 & 4\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}9\\[2pt]13\\[2pt]17\end{pmatrix}.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar a fatoração \;A=LU\; sem pivotamento parcial (matriz L triangular inferior com 1 na diagonal e U triangular superior).
  • Apresentar as matrizes L e U.
  • Encontrar o vetor solução x do sistema Ax=b.]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática passo a passo):
  • Queremos escrever A=LU com
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1 & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[4pt] 0 & u_{22} & u_{23}\\[4pt] 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}.
  • Método Doolittle: a primeira linha de U é a primeira linha de A. Os multiplicadores \ell_{i1} são \ell_{i1}=a_{i1}/u_{11}. Depois atualizamos as linhas inferiores e repetimos para obter u_{22},u_{23} etc. Vou mostrar cada conta explicitamente, como se estivéssemos fazendo eliminação de Gauss mas guardando os multiplicadores em L.
  • Depois de obter L e U resolvemos Ly=b por substituição para frente e então Ux=y por substituição para trás.]

Passo 3

Começando: primeira linha de U e primeiros multiplicadores.
  • A primeira linha de U é a primeira linha de A, então
u_{11}=2,\qquad u_{12}=1,\qquad u_{13}=1.
  • Multiplicadores para zerar abaixo de u_{11}:
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{1}{2},\qquad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{3}{2}.
Explicando: \ell_{21} significa “quanto da linha 1 subtrair da linha 2” para obter zero em a_{21}. Aqui \ell_{21}=\tfrac{1}{2} porque 1-(\tfrac{1}{2}\cdot 2)=0.

Passo 4

Atualizamos as linhas 2 e 3 subtraindo \ell_{21} e \ell_{31} vezes a linha 1, para obter os elementos de U na segunda linha:
  • Linha 2 atualizada:
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}=3-\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{5}{2},
u_{23}=a_{23}-\ell_{21}u_{13}=2-\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{3}{2}.
  • Linha 3, após primeira eliminação, tem segundo elemento
a'_{32}=a_{32}-\ell_{31}u_{12}=1-\frac{3}{2}\cdot 1=-\frac{1}{2},
e terceiro elemento provisório
a'_{33}=a_{33}-\ell_{31}u_{13}=4-\frac{3}{2}\cdot 1=\frac{5}{2}.
Aqui usei explicitamente os valores originais de A (os dados do enunciado).

Passo 5

Agora calculamos o multiplicador \ell_{32} para zerar a'_{32} usando u_{22}:
\ell_{32}=\frac{a'_{32}}{u_{22}}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{5}{2}}=-\frac{1}{5}.
Em seguida obtemos u_{33} subtraindo \ell_{32} vezes u_{23} do valor provisório a'_{33}:
u_{33}=a'_{33}-\ell_{32}u_{23}=\frac{5}{2}-\Big(-\frac{1}{5}\Big)\cdot\frac{3}{2} =\frac{5}{2}+\frac{3}{10}=\frac{14}{5}.

Passo 6

Reunindo tudo, as matrizes L e U são:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \frac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] \frac{3}{2} & -\frac{1}{5} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\[4pt] 0 & 0 & \frac{14}{5} \end{pmatrix}.
Comentário curto: L guarda os multiplicadores usados na eliminação e tem 1s na diagonal; U é a forma triangular superior obtida.]

Passo 7

Resolver Ly=b\) (substituição para frente). Escrevendo as equações: \[\begin{cases} y_1=9,\\[4pt] \frac{1}{2}y_1+y_2=13,\\[4pt] \frac{3}{2}y_1-\frac{1}{5}y_2+y_3=17. \end{cases}
Calculando passo a passo:
  • y_1=9.\] - \(y_2=13-\frac{1}{2}y_1=13-\frac{1}{2}\cdot 9=13-\frac{9}{2}=\frac{17}{2}.
    - y_3=17-\frac{3}{2}y_1+\frac{1}{5}y_2 =17-\frac{3}{2}\cdot 9+\frac{1}{5}\cdot\frac{17}{2}.
    Fazendo frações: 17=\frac{34}{2}, então \frac{34}{2}-\frac{27}{2}=\frac{7}{2}. Acrescentando \frac{17}{10} obtemos
y_3=\frac{7}{2}+\frac{17}{10}=\frac{35}{10}+\frac{17}{10}=\frac{52}{10}=\frac{26}{5}.
Logo
y=\begin{pmatrix}9\\[2pt]\frac{17}{2}\\[2pt]\frac{26}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Resolver Ux=y\) (substituição para trás). Equações: \[\begin{cases} 2x_1+1x_2+1x_3=9,\\[4pt] \frac{5}{2}x_2+\frac{3}{2}x_3=\frac{17}{2},\\[4pt] \frac{14}{5}x_3=\frac{26}{5}. \end{cases}
Começando por x_3\]: \[x_3=\frac{\tfrac{26}{5}}{\tfrac{14}{5}}=\frac{26}{5}\cdot\frac{5}{14}=\frac{26}{14}=\frac{13}{7}.\] Depois \(x_2:
\frac{5}{2}x_2=\frac{17}{2}-\frac{3}{2}x_3 =\frac{17}{2}-\frac{3}{2}\cdot\frac{13}{7} =\frac{119-39}{14}=\frac{80}{14}=\frac{40}{7}.
Dividindo por \tfrac{5}{2}:
x_2=\frac{\tfrac{40}{7}}{\tfrac{5}{2}}=\frac{40}{7}\cdot\frac{2}{5}=\frac{16}{7}.
Finalmente x_1:
2x_1=9-x_2-x_3=9-\frac{16}{7}-\frac{13}{7}=9-\frac{29}{7}=\frac{63-29}{7}=\frac{34}{7},
logo
x_1=\frac{34}{14}=\frac{17}{7}.
Portanto a solução é
x=\begin{pmatrix}\frac{17}{7}\\[2pt]\frac{16}{7}\\[2pt]\frac{13}{7}\end{pmatrix}.]

Resposta

L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]\dfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt]\dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{5} & 1\end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]0 & \dfrac{5}{2} & \dfrac{3}{2}\\[4pt]0 & 0 & \dfrac{14}{5}\end{pmatrix}
x=\begin{pmatrix}\dfrac{17}{7}\\[4pt]\dfrac{16}{7}\\[4pt]\dfrac{13}{7}\end{pmatrix}]

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