Resolva os sistemas lineares a seguir utilizando qualquer método linear visto. Efetue as pivotações, quando necessário.
l7 x1-4 x2-2 x3=1,0 -2 x1+7 x2-4 x3=1,0 -4 x1-2 x2+7 x3=1,0

Passo 1

Beleza! A gente tem um sistema de 3 equações e 3 incógnitas:
7x1 - 4x2 - 2x3 = 1,0 -2x1 + 7x2 - 4x3 = 1,0 -4x1 - 2x2 + 7x3 = 1,0
Conteúdo: método de eliminação de Gauss (ou escalonamento).
O que vamos usar:
  • Montar a matriz aumentada.
  • Operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar, somar múltiplos de linhas) para zerar abaixo dos pivôs.
  • Substituição regressiva no final.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada:
[ccc|c 7 & -4 & -2 & 1 -2 & 7 & -4 & 1 -4 & -2 & 7 & 1 ]
No método de Gauss, o “pivô” é o elemento da diagonal (começamos por 7). A ideia é zerar tudo que estiver abaixo dele na mesma coluna usando combinações de linhas.
  • Para zerar o elemento na linha 2, coluna 1 (que é -2), fazemos R2 R2 + 27,R1
    - Para zerar o elemento na linha 3, coluna 1 (que é -4), fazemos
    R3 R3 + 47,R1
Depois desses dois passos, a matriz vira
[ccc|c 7 & -4 & -2 & 1[6pt] 0 & tfrac417 & -tfrac327 & tfrac97[6pt] 0 & -tfrac307 & tfrac417 & tfrac117 ]
Para simplificar, multiplico a linha 2 e a linha 3 por 7:
[ccc|c 7 & -4 & -2 & 1 0 & 41 & -32 & 9 0 & -30 & 41 & 11 ]

Passo 3

Agora o pivô da linha 2 é 41. Vamos zerar o que está abaixo dele (o -30):
R3 R3 + 3041,R2
Isso dá
[ccc|c 7 & -4 & -2 & 1 0 & 41 & -32 & 9 0 & 0 & tfrac72141 & tfrac72141 ]
Repare que a última linha virou
72141,x3 = 72141 Longrightarrow x3 = 1

Passo 4

Agora fazemos substituição regressiva:
  • Da linha 2:
    41,x2 - 32,x3 = 9 Longrightarrow 41,x2 - 32cdot1 = 9 Longrightarrow 41,x2 = 41 Longrightarrow x2 = 1
  • Da linha 1:
    7,x1 -4,x2 -2,x3 = 1 Longrightarrow 7,x1 -4cdot1 -2cdot1 = 1 Longrightarrow 7,x1 = 7 Longrightarrow x1 = 1

Resposta

(x1,,x2,,x3) = (1,,1,,1)

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