Resolva os sistemas lineares a seguir utilizando qualquer método linear visto. Efetue as pivotações, quando necessário.
c0 x1+x2+2 x3=1,0 -x1+x2+3 x3=2,0 2 x1+x2+5 x3=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver esse sistema 3×3 usando qualquer método linear que a gente tenha visto (eliminação de Gauss), incluindo pivoteamentos quando precisar. Então vamos montar a matriz aumentada, identificar pivôs (números que não podem ser zero pra dividirmos) e usar operações de linha pra zerar as entradas abaixo e acima desses pivôs.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema
[ccc|c 0 & 1 & 2 & 1 -1& 1 & 3 & 2 2 & 1 & 5 & 0 ]
Como o elemento da linha 1, coluna 1 é zero, não dá pra usar de primeira como pivô (não podemos dividir por zero). Então fazemos um pivoteamento: trocamos a linha 1 com a linha 2. Fica
[ccc|c -1& 1 & 3 & 2 0 & 1 & 2 & 1 2 & 1 & 5 & 0 ]
Trocar linhas é uma operação elementar que só muda a ordem, sem mexer na solução.

Passo 3

Agora o pivô é [ccc|c -1& 1 & 3 & 2 0 & 1 & 2 & 1 0 & 3 &11 & 4 ] na posição (1,1). Vamos zerar os elementos abaixo dele na coluna 1:
  • Linha 3 ← Linha 3 + 2×Linha 1, porque .
    Isso dá
A linha 2 já está zerada na coluna 1.

Passo 4

Agora vamos ao pivô da coluna 2, que é o 1 na posição (2,2). Primeiro zeramos abaixo:
  • Linha 3 ← Linha 3 − 3×Linha 2, pois [ccc|c -1& 1 & 3 & 2 0 & 1 & 2 & 1 0 & 0 & 5 & 1 ] .
    Fica
[ccc|c -1& 0 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & 1 0 & 0 & 5 & 1 ]
E, pra facilitar depois, vamos também zerar acima desse pivô:
  • Linha 1 ← Linha 1 − 1×Linha 2, porque .
    Fica

Passo 5

O último pivô está em (3,3) e vale 5. A ideia é zerar tudo acima dele:
  • Linha 2 ← Linha 2 − [ccc|c -1& 0 & 0 & tfrac45 0 & 1 & 0 & tfrac35 0 & 0 & 5 & 1 ] ×Linha 3,
  • Linha 1 ← Linha 1 − ×Linha 3.
    Vamos fazer cada uma:
    Linha 2: .
    Linha 1: .
Agora a matriz ficou diagonal:

Passo 6

Numa matriz diagonal a gente lê direto as equações:
-1cdot x1 = tfrac45, 1cdot x2 = tfrac35, 5cdot x3 = 1
É só isolar cada variável:

Resposta

boxedx1 = -tfrac45, x2 = tfrac35, x3 = tfrac15

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