Resolva para u=u(x, y) :
(f) u_{x x}-4 y^{2} u

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as funções u=u(x,y) que satisfaçam a equação
u_{xx}-4y^{2}u=0.
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem em x, cujo parâmetro y age como constante. Vamos resolver essa ODE em x, deixando as constantes de integração como funções de y.

Passo 2

Para cada valor fixo de y, a equação em x fica
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-4y^{2}u=0.
Procuramos soluções da forma u(x,y)=e^{\lambda x}, onde \lambda depende de y. Substituindo na equação:
\lambda^{2}e^{\lambda x}-4y^{2}e^{\lambda x}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^{2}-4y^{2}=0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica em \lambda:
\lambda^{2}-4y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm2y.

Passo 4

As duas raízes geram a solução geral da ODE em x. Como as “constantes” de integração podem depender de y, escrevemos
u(x,y)=A(y)e^{2yx}+B(y)e^{-2yx},
onde A(y) e B(y) são funções arbitrárias de y.

Resposta

u(x,y)=A(y)e^{2yx}+B(y)e^{-2yx},
com A e B funções arbitrárias de y.

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