Resolva para u=u(x, y) :
(e) u_{y}+u=e^{x y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação em derivadas parciais
u_{y} + u = e^{xy},
onde u = u(x,y). Vemos que é uma EDO linear em y (com x tratado como parâmetro), do tipo
\frac{\partial u}{\partial y} + 1\cdot u = e^{xy}.
Para resolver, usaremos o fator integrante em y.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de u como 1. O fator integrante \mu(y) satisfaz
\mu'(y) = 1\cdot \mu(y),
cuja solução é
\mu(y)=e^{y}.
Multiplicamos a equação original por e^{y}:
e^{y}u_{y} + e^{y}u = e^{y}e^{xy}.
O lado esquerdo é a derivada em y de u\,e^{y}.

Passo 3

Escrevendo em forma de derivada exata, temos
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(u\,e^{y}\bigr) = e^{(x+1)y}.
Integramos em y:
u\,e^{y} = \int e^{(x+1)y}\,dy + C(x).
Como x é parâmetro, a “constante” de integração é uma função arbitrária C(x).

Passo 4

Para x \neq -1,
\int e^{(x+1)y}\,dy = \frac{1}{x+1}\,e^{(x+1)y},
logo
u\,e^{y} = \frac{1}{x+1}\,e^{(x+1)y} + C(x).
Dividindo por e^{y}, obtemos
u(x,y) = \frac{1}{x+1}\,e^{xy} + C(x)\,e^{-y}.

Passo 5

No caso particular x=-1, a integral fica
\int e^{0\cdot y}\,dy = \int 1\,dy = y,
então
u\,e^{y} = y + C(x), \quad u(x,y) = (y + C(x))\,e^{-y}.

Resposta

Para x\neq -1:
u(x,y) = \frac{e^{xy}}{x+1} + F(x)\,e^{-y},
e para x=-1:
u(x,y) = \bigl(y + F(x)\bigr)e^{-y},
onde F(x) é função arbitrária de x.

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