Resolva para u=u(x, y) :
(a) u_{y y}=6 u

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de derivadas parciais \displaystyle u_{yy}=6\,u,
onde u=u(x,y). Como só aparece derivada em y, para cada x fixo isto vira uma EDO ordinária em y. Vamos usar a teoria de EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, temos
\frac{\partial^2u}{\partial y^2}-6\,u=0.
O polinômio característico é
\lambda^2-6=0,
cuja solução é
\lambda=\pm\sqrt{6}.

Passo 3

Pela teoria, a solução geral da EDO para cada x é combinação linear das funções exponenciais das raízes:
u(x,y)=A(x)\,e^{\sqrt{6}\,y}+B(x)\,e^{-\sqrt{6}\,y},
onde A e B são funções arbitrárias de x.

Resposta

u(x,y)=A(x)\,e^{\sqrt{6}\,y}+B(x)\,e^{-\sqrt{6}\,y},
com A e B quaisquer funções de x.

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