Verifique que as funções dadas são soluções da equação de onda u_{t t}= c^{2} u_{x x} com c apropriado:
(c) u=\operatorname{sen} 3 x \operatorname{sen} 18 t

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
u(x,t) = \sin(3x)\,\sin(18t)
satisfaz a equação de onda
u_{tt} = c^2\,u_{xx}
para algum valor adequado de c. Vamos usar derivadas parciais em x e t e comparar os resultados.

Passo 2

Calcular a derivada segunda em x. Primeiro,
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(3x)\sin(18t)\bigr) = 3\cos(3x)\,\sin(18t).
Derivando de novo,
u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3\cos(3x)\sin(18t)\bigr) = 3\bigl(-3\sin(3x)\bigr)\sin(18t) = -9\,\sin(3x)\sin(18t) = -9\,u.

Passo 3

Calcular a derivada segunda em t. Primeiro,
u_t = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\sin(3x)\sin(18t)\bigr) = \sin(3x)\cdot18\cos(18t).
Derivando de novo,
u_{tt} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(18\sin(3x)\cos(18t)\bigr) = 18\sin(3x)\bigl(-18\sin(18t)\bigr) = -324\,\sin(3x)\sin(18t) = -324\,u.

Passo 4

Para satisfazer
u_{tt} = c^2\,u_{xx}
substituímos u_{tt}=-324\,u e u_{xx}=-9\,u, obtendo
-324\,u = c^2\,(-9\,u) \quad\Longrightarrow\quad 324 = 9\,c^2 \quad\Longrightarrow\quad c^2 = 36 \quad\Longrightarrow\quad c = 6.

Resposta

A função u=\sin(3x)\sin(18t) é solução da equação de onda u_{tt}=c^2u_{xx} com c=6.

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