Verifique que as funções dadas são soluções da equação de onda u_{t t}= c^{2} u_{x x} com c apropriado:
(b) u=\operatorname{sen} 8 x \cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
u(x,t)=\sin(8x)\,\cos(2t)
satisfaz a equação de onda
u_{tt}=c^{2}\,u_{xx}
para algum valor de c.
Vamos aplicar definição de derivadas parciais de segunda ordem e comparar os resultados para encontrar c.

Passo 2

Calcular a segunda derivada de u em relação a x.
Primeiro,
u_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(8x)\cos(2t)\bigr) =8\cos(8x)\,\cos(2t).
Em seguida,
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(8\cos(8x)\cos(2t)\bigr) =8\cdot(-8)\sin(8x)\,\cos(2t) =-64\,\sin(8x)\,\cos(2t).

Passo 3

Calcular a segunda derivada de u em relação a t.
Primeiro,
u_{t}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\sin(8x)\cos(2t)\bigr) =-2\,\sin(8x)\,\sin(2t).
Em seguida,
u_{tt}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(-2\sin(8x)\sin(2t)\bigr) =-2\cdot2\,\sin(8x)\,\cos(2t) =-4\,\sin(8x)\,\cos(2t).

Passo 4

Para que valha
u_{tt}=c^{2}\,u_{xx}
substituímos os resultados:
-4\,\sin(8x)\cos(2t) \;=\; c^{2}\,\bigl(-64\,\sin(8x)\cos(2t)\bigr).
Como \sin(8x)\cos(2t) não é identicamente zero, podemos cancelar este fator e obter
-4 = -64\,c^{2} \quad\Longrightarrow\quad c^{2}=\frac{4}{64}=\tfrac{1}{16} \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{1}{4}.

Resposta

A função u=\sin(8x)\cos(2t) satisfaz a equação de onda u_{tt}=c^{2}u_{xx} com
c=\frac{1}{4}.

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