Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
[[2 x1+2 x2+2 x3=0]; [-2 x1+5 x2+2 x3=1]; [8 x1+x2+4 x3=-1]]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
2x1+2x2+2x3=0, -2x1+5x2+2x3=1, 8x1+x2+4x3=-1
usando o método de Gauss–Jordan, que consiste em montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares de linha até obter a forma escalonada reduzida e, então, ler as soluções do sistema.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada l[Amid br]:
[ccc|c 2 & 2 & 2 & 0 -2 & 5 & 2 & 1 8 & 1 & 4 & -1 ]

Passo 3

Normalizamos o pivô da primeira linha dividindo-a por 2:
R1 tfrac12,R1 Longrightarrow [ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 -2 & 5 & 2 & 1 8 & 1 & 4 & -1 ]

Passo 4

Eliminamos a entrada (2,1) e (3,1) anulando x1 em R2 e R3:
R2 R2+2,R1, R3 R3-8,R1
Longrightarrow [ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & 7 & 4 & 1 0 & -7 & -4 & -1 ]

Passo 5

Observamos que R3 + R2 = (0,0,0mid0), indicando que o sistema tem posto 2 e, portanto, haverá uma variável livre. Continuamos reduzindo as duas primeiras linhas:
  1. Normalizamos o pivô de R2: R2 tfrac17,R2 Longrightarrow [ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & tfrac47 & tfrac17 0 & 0 & 0 & 0 ]
  2. Anulamos a entrada (1,2) usando R1 R1-R2: [ccc|c 1 & 0 & 1-tfrac47 & 0-tfrac17 0 & 1 & tfrac47 & tfrac17 0 & 0 & 0 & 0 ] = [ccc|c 1 & 0 & tfrac37 & -tfrac17 0 & 1 & tfrac47 & tfrac17 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 6

Da forma reduzida obtemos as relações
x1 + tfrac37x3 = -tfrac17, x2 + tfrac47x3 = tfrac17, 0 = 0
Como a terceira linha é toda zero, tomamos x3=t (variável livre). Logo,
x1 = -tfrac17 - tfrac37,t, x2 = tfrac17 - tfrac47,t, x3 = t, tinR

Resposta

O conjunto de soluções é
l(x1,x2,x3) = l(-tfrac17-tfrac37t,;tfrac17-tfrac47t,;tr);m|;tinRr

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