Explique (não resolva) como modificar cada equação de maneira que somente uma função trigonométrica esteja presente.
5 \tan ^{2} \theta=6 \operatorname{sec} \theta-5
5 \tan ^{2} \theta=6 \operatorname{sec} \theta-5
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que a equação seja modificada de modo que apareça somente uma função trigonométrica (por exemplo, só
ou só
). Dados relevantes: o termo
e o termo
. A tarefa é explicar como transformar a equação (sem continuar para achar
).
Passo 2
Vamos recordar duas identidades trigonométricas básicas que vão nos salvar aqui (já explico cada uma):
é a identidade recíproca que diz que
é o inverso de
.
E a identidade pitagórica (escrita em termos de e
):
E a identidade pitagórica (escrita em termos de
Essa última é útil quando aparece
e queremos escrevê-la em função de
(ou vice-versa). A escolha de qual função manter depende do que já aparece: como temos
e
, usar a identidade
é a opção direta e menos trabalhosa.
Passo 3
Aplicando a identidade
para eliminar
, substituímos
por
. Assim o lado esquerdo vira:
O lado direito permanece
. Portanto a equação fica
Passo 4
Agora simplificamos: somando
em ambos os lados para cancelar os
obtemos
Colocando tudo em um lado:
Fatorando
:
Pronto — esta forma contém apenas a função
, como solicitado. (Não vou resolver para
; apenas mostrei a transformação.)
Passo 5
Como alternativa, se preferir trabalhar com
(ou se no exame exigirem escrever tudo em
), podemos reescrever
e
em termos de
e
:
Substituindo na equação original:
Multiplicando toda a equação por
para eliminar denominadores:
Usando a identidade
(ou seja,
escrito em função de
), substituímos e obtemos uma equação que envolve apenas
:
Ao simplificar essa expressão obtém-se uma equação com somente
(novamente, parei aqui sem extrair
).
Passo 6
Resumo e dica prática para prova: quando aparecer
junto com
, a substituição
costuma ser a via mais curta para deixar só
. Se aparecerem frações com
e
, transformar tudo em
/
e multiplicar pelo menor denominador comum (normalmente
) também funciona e deixa tudo em termos de
(ou
).