Explique (não resolva) como modificar cada equação de maneira que somente uma função trigonométrica esteja presente.
5 \tan ^{2} \theta=6 \operatorname{sec} \theta-5

Passo 1

O enunciado dá a equação
5 \tan^{2}\theta = 6 \operatorname{sec}\theta - 5
e pede que a equação seja modificada de modo que apareça somente uma função trigonométrica (por exemplo, só \operatorname{sec}\theta ou só \cos\theta). Dados relevantes: o termo \tan^{2}\theta e o termo \operatorname{sec}\theta. A tarefa é explicar como transformar a equação (sem continuar para achar \theta).

Passo 2

Vamos recordar duas identidades trigonométricas básicas que vão nos salvar aqui (já explico cada uma):
\operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\cos\theta}
é a identidade recíproca que diz que \operatorname{sec} é o inverso de \cos.
E a identidade pitagórica (escrita em termos de \operatorname{sec} e \tan):
\operatorname{sec}^{2}\theta = 1 + \tan^{2}\theta.
Essa última é útil quando aparece \tan^{2}\theta e queremos escrevê-la em função de \operatorname{sec}\theta (ou vice-versa). A escolha de qual função manter depende do que já aparece: como temos \tan^{2}\theta e \operatorname{sec}\theta, usar a identidade \operatorname{sec}^{2}\theta = 1+\tan^{2}\theta é a opção direta e menos trabalhosa.

Passo 3

Aplicando a identidade \operatorname{sec}^{2}\theta = 1 + \tan^{2}\theta para eliminar \tan^{2}\theta, substituímos \tan^{2}\theta por \operatorname{sec}^{2}\theta-1. Assim o lado esquerdo vira:
5\tan^{2}\theta = 5(\operatorname{sec}^{2}\theta-1) = 5\operatorname{sec}^{2}\theta - 5.
O lado direito permanece 6\operatorname{sec}\theta - 5. Portanto a equação fica
5\operatorname{sec}^{2}\theta - 5 = 6\operatorname{sec}\theta - 5.

Passo 4

Agora simplificamos: somando 5 em ambos os lados para cancelar os -5 obtemos
5\operatorname{sec}^{2}\theta = 6\operatorname{sec}\theta.
Colocando tudo em um lado:
5\operatorname{sec}^{2}\theta - 6\operatorname{sec}\theta = 0.
Fatorando \operatorname{sec}\theta:
\operatorname{sec}\theta\,(5\operatorname{sec}\theta - 6) = 0.
Pronto — esta forma contém apenas a função \operatorname{sec}\theta, como solicitado. (Não vou resolver para \theta; apenas mostrei a transformação.)

Passo 5

Como alternativa, se preferir trabalhar com \cos\theta (ou se no exame exigirem escrever tudo em \cos), podemos reescrever \tan e \operatorname{sec} em termos de \sin e \cos:
\tan^{2}\theta = \frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta},\qquad \operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\cos\theta}.
Substituindo na equação original:
5\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} = \frac{6}{\cos\theta} - 5.
Multiplicando toda a equação por \cos^{2}\theta para eliminar denominadores:
5\sin^{2}\theta = 6\cos\theta - 5\cos^{2}\theta.
Usando a identidade \sin^{2}\theta = 1 - \cos^{2}\theta (ou seja, \sin^{2}\theta escrito em função de \cos\theta), substituímos e obtemos uma equação que envolve apenas \cos\theta:
5(1-\cos^{2}\theta) = 6\cos\theta - 5\cos^{2}\theta.
Ao simplificar essa expressão obtém-se uma equação com somente \cos\theta (novamente, parei aqui sem extrair \theta).

Passo 6

Resumo e dica prática para prova: quando aparecer \tan^{2}\theta junto com \operatorname{sec}\theta, a substituição \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1 costuma ser a via mais curta para deixar só \operatorname{sec}. Se aparecerem frações com \tan e \operatorname{sec}, transformar tudo em \sin/ \cos e multiplicar pelo menor denominador comum (normalmente \cos^{2}\theta) também funciona e deixa tudo em termos de \cos (ou \sin).

Resposta

5\operatorname{sec}^{2}\theta - 6\operatorname{sec}\theta = 0
6\cos\theta = 5

Exercícios relacionados