Determinar, usando o método de Newton-Raphson, a menor raiz positiva da função f(x)=4 cos (x)-e^x com varepsilon<0,01 no intervalo [1,2].
Utilize x0=2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a menor raiz positiva da função
f(x) = 4cos(x) - e^x
usando o método de Newton–Raphson, com tolerância xn+1 = xn - f(xn)f'(xn), partindo de .
Isso é conteúdo de métodos numéricos: Newton–Raphson itera aproximando raízes de equações não lineares usando derivadas. A gente vai precisar de:
  • A fórmula de iteração do Newton:
  • A derivada .
  • Critério de parada: .

Passo 2

Calcular a derivada de f(x) = 4cos(x) - e^x Longrightarrow f'(x) = -4sin(x) - e^x.
Explicando: derivada de é , e de é .

Passo 3

Agora escrevemos a fórmula de Newton–Raphson:
xn+1 = xn - 4cos(xn)-e^xn-4sin(xn)-e^xn
Em cada iteração, a gente avalia e e atualiza .

Passo 4

Iteração 1 ( x1 = 2 - -9.053643-11.026244 approx 2 - 0.82131 = 1.17869 , ):

Passo 5

Iteração 2 ( x2 = 1.17869 - -1.7188-6.9452 approx 1.17869 - 0.2475 = 0.93119 ):
Diferença , continua.

Passo 6

Iteração 3 ( x3 = 0.93119 - -0.1490-5.7460 approx 0.93119 - 0.02593 = 0.90526 ):
Diferença , ainda não.

Passo 7

Iteração 4 ( x4 = 0.90526 - -0.00040-5.6172 approx 0.90526 - 0.000071 = 0.90519 ):
Agora . Parou!

Resposta

A menor raiz positiva aproximada, com boxedxapprox0.9052 , é

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