Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios.
Calcular o valor da integral e o erro cometido.
integral3^6 3 x+2 d x

Passo 1

Beleza, o problema pede para a gente aproximar a integral
integral3^6 (3x + 2),dx
usando a regra dos trapézios e depois calcular o erro dessa aproximação.
Então o conteúdo é Integração Numérica (regra dos trapézios) e também Integrais Exatas (pra comparar e achar o erro). A gente vai precisar:
  • A fórmula da regra dos trapézios simples.
  • Calcular a integral exata da função .
  • Usar a fórmula do erro da regra dos trapézios.

Passo 2

Antes de botar a mão na massa, vamos lembrar a regra dos trapézios simples. Se T = b-a2,l(f(a) + f(b)r) e são os limites de integração e é a função, então
Essa fórmula vem de aproximar o gráfico de entre e por um trapézio e calcular a área dele.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, onde f(3) = 3cdot 3 + 2 = 9 + 2 = 11 , f(6) = 3cdot 6 + 2 = 18 + 2 = 20 e T = 6-32,l(11 + 20r) = 32 times 31 = 1,5 times 31 = 46,5 :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Substituir na fórmula do trapézio:

Passo 4

Agora vamos achar a integral exata pra comparar.
A primitiva de integral (3x+2),dx = 32x^2 + 2x + C é
I = l(tfrac32cdot6^2 + 2cdot6r) - l(tfrac32cdot3^2 + 2cdot3r) = l(54 + 12r) - l(13,5 + 6r) = 66 - 19,5 = 46,5
Então, avaliando de 3 a 6:

Passo 5

Pra completar, a gente calcula o erro. A fórmula geral do erro da regra dos trapézios (simples) é
ET = -(b-a)^312,f''(xi) para algum xiin[a,b]
Nossa função é , então pra todo . Isso significa que o erro é zero e a regra dos trapézios dá a resposta exata quando é linear.

Resposta

Integral aproximada (trapézio):
Integral exata:
Erro cometido:

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