Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios.
Calcular o valor da integral e o erro cometido.
Calcular o valor da integral e o erro cometido.
Passo 1
Beleza, o problema pede para a gente aproximar a integral
usando a regra dos trapézios e depois calcular o erro dessa aproximação.
Então o conteúdo é Integração Numérica (regra dos trapézios) e também Integrais Exatas (pra comparar e achar o erro). A gente vai precisar:
Então o conteúdo é Integração Numérica (regra dos trapézios) e também Integrais Exatas (pra comparar e achar o erro). A gente vai precisar:
- A fórmula da regra dos trapézios simples.
- Calcular a integral exata da função
. - Usar a fórmula do erro da regra dos trapézios.
Passo 2
Antes de botar a mão na massa, vamos lembrar a regra dos trapézios simples. Se
e
são os limites de integração e
é a função, então
Essa fórmula vem de aproximar o gráfico de
entre
e
por um trapézio e calcular a área dele.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, onde
,
e
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Substituir na fórmula do trapézio:
Passo 4
Agora vamos achar a integral exata pra comparar.
A primitiva de é
A primitiva de
Então, avaliando de 3 a 6:
Passo 5
Pra completar, a gente calcula o erro. A fórmula geral do erro da regra dos trapézios (simples) é
Nossa função é
, então
pra todo
. Isso significa que o erro é zero e a regra dos trapézios dá a resposta exata quando
é linear.
Resposta
Integral aproximada (trapézio):
Integral exata:
Erro cometido:
Integral exata:
Erro cometido: