Resolver o seguinte sistema pelo método da Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:
l2,11 x1-4,21 x2+0,921 x3=2,01 4,01 x1+10,2 x2-1,12 x3=-3,09 1,09 x1+0,987 x2+0,832 x3=4,21

Passo 1

Beleza, temos o sistema
Conteúdo: Método da Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.
O que precisamos:
  • Montar a matriz aumentada.
  • Fazer operações elementares (trocar linhas, somar múltiplos).
  • Em cada coluna, usar pivoteamento parcial (escolher o maior pivô em módulo).
    A partir do Passo 2 a gente mete a mão na massa.

Passo 2

Primeiro, monta-se a matriz aumentada:
[ccc|c 2,11 & -4,21 & 0,921 & 2,01 4,01 & 10,2 & -1,12 & -3,09 1,09 & 0,987 & 0,832 & 4,21 ]
Pivoteamento parcial na coluna 1: escolhe o maior |pivot| entre 2,11; 4,01; 1,09 ⇒ 4,01 (linha 2).
Troca linha 1 ⇄ linha 2, dando:
[ccc|c 4,01 & 10,2 & -1,12 & -3,09 2,11 & -4,21 & 0,921 & 2,01 1,09 & 0,987 & 0,832 & 4,21 ]
Agora elimina embaixo do pivô (linha 1):
Para a linha 2:
ell21 = 2,114,01approx0,5262, linha2 >=ts linha2 - ell21,linha1,
resultando em
[0,;-9,5761,;1,5105;|;3,635]
Para a linha 3:
ell31 = 1,094,01approx0,2718, linha3 >=ts linha3 - ell31,linha1,
dando
[0,;-1,7860,;1,1364;|;5,0503]
Até agora temos
[ccc|c 4,01 & 10,2 & -1,12 & -3,09 0 & -9,5761 & 1,5105 & 3,635 0 & -1,7860 & 1,1364 & 5,0503 ]

Passo 3

Agora pivoteamento na coluna 2 (entre linhas 2 e 3): |−9,5761| > |−1,7860|, sem troca.
Elimina abaixo de a₂₂ na linha 3:
ell32 = -1,7860-9,5761approx0,1865, linha3 >=ts linha3 - ell32,linha2
Fica a linha 3:
[0,;0,;0,8546;|;4,3723]
Matriz triangular resultante:
[ccc|c 4,01 & 10,2 & -1,12 & -3,09 0 & -9,5761 & 1,5105 & 3,635 0 & 0 & 0,8546 & 4,3723 ]

Passo 4

Agora a gente faz a retro-substituição:
  1. Da linha 3,
0,8546,x3 = 4,3723 Longrightarrow x3 = 4,37230,8546approx5,116
  1. Da linha 2,
-9,5761,x2 + 1,5105,x3 = 3,635 Longrightarrow x2 = 3,635 - 1,5105cdot5,116-9,5761 approx0,428
  1. Da linha 1,
4,01,x1 +10,2,x2 -1,12,x3 = -3,09 Longrightarrow x1 = -3,09 -10,2cdot0,428 +1,12cdot5,1164,01 approx-0,429

Resposta

(x1,,x2,,x3) approx (-0,429,;0,428,;5,116)

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