Resolver o seguintes exercícios do Livro Texto.
Determinar o volume molar
do
a
e
usando a equação de estado de van der Waals
, sabendo que para o dióxido de carbono
e
. Deve ser lembrado que
e
.
Determinar o volume molar
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados são fornecidos.
- O que o enunciado pede: determinar o volume molar
do nas condições e usando a equação de van der Waals:
- Dados fornecidos:
-
. (Vou transformar em Kelvin depois.) -
. -
. -
. -
.
-
Esses são todos os dados. Agora partimos para a resolução numérico-analítica.
Passo 2
Transformar a temperatura para Kelvin e calcular
.
- Temperatura em Kelvin:
- Calcular
:
(Explanação curta:
é a constante universal dos gases;
tem unidades de pressão vezes volume por mol, exatamente compatível com o produto na equação de estado.)
Passo 3
Transformar a equação de van der Waals numa equação polinomial em
(isso facilita aplicar métodos numéricos).
Partimos de
Expandindo e multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Multiplicando por
:
Reagrupando todos os termos à esquerda:
Então definimos a função polinomial
cuja raiz positiva procuramos.
(Explicação didática: escrever como polinômio evita frações e permite aplicar métodos numéricos como Newton–Raphson; os coeficientes combinam a pressão real
, as correções de volume
e de atração
e a energia térmica
.)
Passo 4
Calcular os coeficientes numéricos do polinômio substituindo os dados.
- Já calculamos
. - Calcular
:
- Portanto
- Calcular
:
Logo a função a resolver é
(Unidade:
em
.)
Passo 5
Escolher e explicar um método numérico apropriado para achar a raiz positiva. Vou usar o método de Newton–Raphson porque é rápido e prático numa prova quando se conhece
e sua derivada.
- Fórmula do método de Newton–Raphson:
- Derivada
(derivando o polinômio):
Com os números:
(Explicação: Newton usa uma aproximação linear da função em torno de uma estimativa e conserta iterativamente; costuma convergir muito rápido se a estimativa inicial não estiver muito longe. Uma boa estimativa inicial natural é o valor do gás ideal
.)
Passo 6
Escolher a aproximação inicial e executar as iterações de Newton mostrando as contas.
- Estimativa inicial pelo gás ideal:
Agora aplicamos Newton:
-
Iteração 0:
. - Calcular
. Usando o polinômio:
- Calcular
:
- Atualização:
- Calcular
-
Iteração 1:
. - Calcular
. - Calcular
. - Atualização:
- Calcular
-
Iteração 2:
. - Calcular
(próximo de zero; erro muito pequeno). - Como
já é muito pequeno (convergência), podemos parar.
- Calcular
(Comentário: em duas iterações o método já leva a uma solução com erro residual muito pequeno — isso é típico do Newton quando a função é suave e a estimativa inicial razoável.)
Passo 7
Conferir e interpretar o resultado final.
- A raiz positiva encontrada é
- Comparação rápida com o gás ideal:
. Ou seja, as correções de van der Waals (interação atrativa e volume próprio ) reduziram o volume molar em relação ao ideal nas condições dadas — isso faz sentido físico porque, em pressão alta, as atrações e o volume finito das moléculas ficam importantes.