Resolver o seguintes exercícios do Livro Texto.
Determinar o volume molar \bar{V} do \mathrm{CO}_{2} a t=60^{\circ} \mathrm{C} e P=25 \mathrm{~atm} usando a equação de estado de van der Waals \left(P+\frac{a}{\bar{V}^{2}}\right)(\bar{V}-b)= R T, sabendo que para o dióxido de carbono a=3,6 \mathrm{~atm} \times \mathrm{l}^{2} \times \mathrm{mol}^{-2} e b=0,0428 \mathrm{l} \times \mathrm{mol}^{-1}. Deve ser lembrado que T=t+273,15 e R= 0,08205 \mathrm{~atm} \times \mathrm{l} \times \mathrm{mol}^{-1} \times \mathrm{K}^{-1}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados são fornecidos.
  • O que o enunciado pede: determinar o volume molar \bar{V} do \mathrm{CO}_2 nas condições t=60^\circ\mathrm{C} e P=25\\ \mathrm{atm} usando a equação de van der Waals:
\left(P+\frac{a}{\bar{V}^2}\right)(\bar{V}-b)=RT.
  • Dados fornecidos:
    • t=60^\circ\mathrm{C}. (Vou transformar em Kelvin depois.)
    • P=25\\ \mathrm{atm}.
    • a=3,6\\ \mathrm{atm\cdot l^2\cdot mol^{-2}}.
    • b=0,0428\\ \mathrm{l\cdot mol^{-1}}.
    • R=0,08205\\ \mathrm{atm\cdot l\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Esses são todos os dados. Agora partimos para a resolução numérico-analítica.

Passo 2

Transformar a temperatura para Kelvin e calcular RT.
  • Temperatura em Kelvin:
T = t + 273{,}15 = 60 + 273{,}15 = 333{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular RT:
RT = 0{,}08205\cdot 333{,}15 = 27{,}34096\\ \mathrm{atm\cdot l\cdot mol^{-1}}.
(Explanação curta: R é a constante universal dos gases; RT tem unidades de pressão vezes volume por mol, exatamente compatível com o produto na equação de estado.)

Passo 3

Transformar a equação de van der Waals numa equação polinomial em \bar{V} (isso facilita aplicar métodos numéricos).
Partimos de
\left(P+\frac{a}{\bar{V}^2}\right)(\bar{V}-b)=RT.
Expandindo e multiplicando ambos os lados por \bar{V}^2 para eliminar denominadores:
\left(P+\frac{a}{\bar{V}^2}\right)(\bar{V}-b)=RT \quad\Longrightarrow\quad P\bar{V}-Pb+\frac{a}{\bar{V}}-\frac{ab}{\bar{V}^2}=RT.
Multiplicando por \bar{V}^2:
P\bar{V}^3 - Pb\bar{V}^2 + a\bar{V} - ab = RT\bar{V}^2.
Reagrupando todos os termos à esquerda:
P\bar{V}^3 - (Pb+RT)\bar{V}^2 + a\bar{V} - ab = 0.
Então definimos a função polinomial
f(\bar{V}) = P\bar{V}^3 - (Pb+RT)\bar{V}^2 + a\bar{V} - ab,
cuja raiz positiva procuramos.
(Explicação didática: escrever como polinômio evita frações e permite aplicar métodos numéricos como Newton–Raphson; os coeficientes combinam a pressão real P, as correções de volume b e de atração a e a energia térmica RT.)

Passo 4

Calcular os coeficientes numéricos do polinômio substituindo os dados.
  • Já calculamos RT = 27{,}34096\\ \mathrm{atm\cdot l\cdot mol^{-1}}.
  • Calcular Pb:
Pb = 25\cdot 0{,}0428 = 1{,}07\\ \mathrm{atm\cdot l\cdot mol^{-1}}.
  • Portanto
Pb + RT = 1{,}07 + 27{,}34096 = 28{,}41096.
  • Calcular ab:
ab = 3{,}6\cdot 0{,}0428 = 0{,}15408\\ \mathrm{atm\cdot l^2\cdot mol^{-2}}.
Logo a função a resolver é
f(\bar{V}) = 25\,\bar{V}^3 - 28{,}41096\,\bar{V}^2 + 3{,}6\,\bar{V} - 0{,}15408.
(Unidade: \bar{V} em \mathrm{l\cdot mol^{-1}}.)

Passo 5

Escolher e explicar um método numérico apropriado para achar a raiz positiva. Vou usar o método de Newton–Raphson porque é rápido e prático numa prova quando se conhece f(\bar{V}) e sua derivada.
  • Fórmula do método de Newton–Raphson:
\bar{V}_{n+1} = \bar{V}_n - \frac{f(\bar{V}_n)}{f'(\bar{V}_n)}.
  • Derivada f'(\bar{V}) (derivando o polinômio):
f'(\bar{V}) = 3P\bar{V}^2 - 2(Pb+RT)\bar{V} + a.
Com os números:
f'(\bar{V}) = 75\,\bar{V}^2 - 56{,}82192\,\bar{V} + 3{,}6.
(Explicação: Newton usa uma aproximação linear da função em torno de uma estimativa e conserta iterativamente; costuma convergir muito rápido se a estimativa inicial não estiver muito longe. Uma boa estimativa inicial natural é o valor do gás ideal \bar{V}_{\text{id}} = RT/P.)

Passo 6

Escolher a aproximação inicial e executar as iterações de Newton mostrando as contas.
  • Estimativa inicial pelo gás ideal:
\bar{V}_{\text{id}} = \frac{RT}{P} = \frac{27{,}34096}{25} = 1{,}093638\\ \mathrm{l\cdot mol^{-1}}.
Agora aplicamos Newton:
  1. Iteração 0: \bar{V}_0 = 1{,}093638.
    • Calcular f(\bar{V}_0). Usando o polinômio:
    f(\bar{V}_0)\approx 2{,}50235.
    • Calcular f'(\bar{V}_0):
    f'(\bar{V}_0)\approx 31{,}159.
    • Atualização:
    \bar{V}_1 = 1{,}093638 - \frac{2{,}50235}{31{,}159} \approx 1{,}01336.
  2. Iteração 1: \bar{V}_1 = 1{,}01336.
    • Calcular f(\bar{V}_1)\approx 0{,}34450.
    • Calcular f'(\bar{V}_1)\approx 23{,}036.
    • Atualização:
    \bar{V}_2 = 1{,}01336 - \frac{0{,}34450}{23{,}036} \approx 0{,}99840.
  3. Iteração 2: \bar{V}_2 = 0{,}99840.
    • Calcular f(\bar{V}_2)\approx -0{,}00012 (próximo de zero; erro muito pequeno).
    • Como |f(\bar{V}_2)| já é muito pequeno (convergência), podemos parar.
(Comentário: em duas iterações o método já leva a uma solução com erro residual muito pequeno — isso é típico do Newton quando a função é suave e a estimativa inicial razoável.)

Passo 7

Conferir e interpretar o resultado final.
  • A raiz positiva encontrada é
\bar{V}\approx 0{,}9984\\ \mathrm{l\cdot mol^{-1}}.
  • Comparação rápida com o gás ideal: \bar{V}_{\text{id}}=1{,}0936\\ \mathrm{l\cdot mol^{-1}}. Ou seja, as correções de van der Waals (interação atrativa a e volume próprio b) reduziram o volume molar em relação ao ideal nas condições dadas — isso faz sentido físico porque, em pressão alta, as atrações e o volume finito das moléculas ficam importantes.

Resposta

\bar{V}=0{,}9984\\ \mathrm{l\cdot mol^{-1}}

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