As perguntas são: encontrar uma diferença dividida de 2ª ordem (vou escolher a primeira, isto é f[x_{0},x_{1},x_{2}]) e a diferença dividida de 3ª ordem correspondente aos quatro pontos (isto é f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]).
Os valores de x_{i} e y_{i} acima foram retirados da tabela fornecida.
Passo 2
O que é diferença dividida e como calcular? Vou dar a definição e explicar passo a passo.
A diferença dividida de 1ª ordem entre x_{i} e x_{j} é
Aqui f(x_{i}) e f(x_{j}) são os valores da função nos pontos x_{i} e x_{j}. A ideia é a mesma da inclinação de uma reta secante: variação de y sobre variação de x.
A diferença dividida de 2ª ordem em três pontos x_{i},x_{j},x_{k} é definida recursivamente por
Explicação: subtraímos as duas diferenças de 2ª ordem (9,0 menos 6,0 = 3,0) e dividimos pela largura entre x_{3} e x_{0} (que é 3,0), resultando em 1,0.
Passo 7
Interpretação curta e dica para a prova (didática): neste caso particular f(x)=x^{3}+x+2 é um polinômio de grau 3. As diferenças divididas de ordem 3 resultaram em 1,0, que corresponde ao coeficiente do termo x^{3} dividido por 3! multiplicado por algo? Na prática, para polinômios de grau n a diferença dividida de ordem n é constante e igual ao coeficiente do termo de grau n quando os nós são igualmente espaçados, mas aqui o cálculo direto recursivo é o caminho mais seguro em prova. O importante: saiba calcular 1ª ordem, depois 2ª ordem recursivamente, depois 3ª ordem recursivamente — é esse o procedimento.