Seja y(x)=f(x)=x^{3}+x+2 achar a diferença dividida de 3^{a} ordem e uma de 2^{a} ordem da tabela a seguir
\left[\begin{array}{ccc} i & x_{i} & y_{i} \\\\ 0 & 1,0 & 4,0 \\\\ 1 & 2,0 & 12,0 \\\\ 2 & 3,0 & 32,0 \\\\ 3 & 4,0 & 70,0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a função y(x)=f(x)=x^{3}+x+2 e a tabela com quatro pontos:
\begin{array}{ccc} i & x_{i} & y_{i} \\\\ 0 & 1,0 & 4,0 \\\\ 1 & 2,0 & 12,0 \\\\ 2 & 3,0 & 32,0 \\\\ 3 & 4,0 & 70,0
]
As perguntas são: encontrar uma diferença dividida de 2ª ordem (vou escolher a primeira, isto é f[x_{0},x_{1},x_{2}]) e a diferença dividida de 3ª ordem correspondente aos quatro pontos (isto é f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]).
Os valores de x_{i} e y_{i} acima foram retirados da tabela fornecida.

Passo 2

O que é diferença dividida e como calcular? Vou dar a definição e explicar passo a passo.
  • A diferença dividida de 1ª ordem entre x_{i} e x_{j} é
f[x_{i},x_{j}] = \frac{f(x_{j})-f(x_{i})}{x_{j}-x_{i}}.
Aqui f(x_{i}) e f(x_{j}) são os valores da função nos pontos x_{i} e x_{j}. A ideia é a mesma da inclinação de uma reta secante: variação de y sobre variação de x.
  • A diferença dividida de 2ª ordem em três pontos x_{i},x_{j},x_{k} é definida recursivamente por
f[x_{i},x_{j},x_{k}] = \frac{f[x_{j},x_{k}] - f[x_{i},x_{j}]}{x_{k}-x_{i}}.
Aqui estamos subtraindo duas diferenças de 1ª ordem e dividindo pela diferença entre os extremos x_{k}-x_{i}.
  • A diferença dividida de 3ª ordem em quatro pontos x_{i},x_{j},x_{k},x_{\ell} é
f[x_{i},x_{j},x_{k},x_{\ell}] = \frac{f[x_{j},x_{k},x_{\ell}] - f[x_{i},x_{j},x_{k}]}{x_{\ell}-x_{i}}.
Ou seja, aplicamos a mesma ideia recursiva subtraindo duas diferenças de 2ª ordem e dividindo pela largura do intervalo entre os extremos.
Vou aplicar essas fórmulas aos pontos dados. Sempre que eu usar um valor da tabela, estou explicitando que o peguei da tabela.

Passo 3

Verificação rápida dos y_{i} dados na tabela (peguei os y_{i} da tabela, mas vamos confirmar usando f(x)=x^{3}+x+2):
f(1,0)=1^{3}+1+2=4,0,
f(2,0)=2^{3}+2+2=8+2+2=12,0,
f(3,0)=3^{3}+3+2=27+3+2=32,0,
f(4,0)=4^{3}+4+2=64+4+2=70,0.
Portanto os valores da coluna y_{i} na tabela estão corretos e serão usados diretamente.

Passo 4

Calcular as diferenças divididas de 1ª ordem necessárias:
  • Para f[x_{0},x_{1}] com x_{0}=1,0 e x_{1}=2,0:
f[x_{0},x_{1}] = \frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}} = \frac{12,0-4,0}{2,0-1,0} = \frac{8,0}{1,0} = 8,0.
  • Para f[x_{1},x_{2}] com x_{1}=2,0 e x_{2}=3,0:
f[x_{1},x_{2}] = \frac{32,0-12,0}{3,0-2,0} = \frac{20,0}{1,0} = 20,0.
  • Para f[x_{2},x_{3}] com x_{2}=3,0 e x_{3}=4,0:
f[x_{2},x_{3}] = \frac{70,0-32,0}{4,0-3,0} = \frac{38,0}{1,0} = 38,0.
Expliquei cada passo: subtraí os y correspondentes e dividi pela diferença dos x.

Passo 5

Calcular as diferenças divididas de 2ª ordem. Vou calcular as duas existentes e então escolher a primeira como “uma de 2ª ordem” pedida.
  • Para f[x_{0},x_{1},x_{2}]:
f[x_{0},x_{1},x_{2}] = \frac{f[x_{1},x_{2}] - f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}} = \frac{20,0 - 8,0}{3,0-1,0} = \frac{12,0}{2,0} = 6,0.
Passo a passo: subtrai-se as duas 1ª ordens (20,0 menos 8,0 = 12,0) e divide-se pela distância entre x_{2} e x_{0} (que é 2,0), dando 6,0.
  • Para f[x_{1},x_{2},x_{3}]:
f[x_{1},x_{2},x_{3}] = \frac{f[x_{2},x_{3}] - f[x_{1},x_{2}]}{x_{3}-x_{1}} = \frac{38,0 - 20,0}{4,0-2,0} = \frac{18,0}{2,0} = 9,0.
Aqui também subtraímos 38,0 menos 20,0 = 18,0 e dividimos por 2,0, obtendo 9,0.
Como o enunciado pediu “uma de 2ª ordem”, eu escolho f[x_{0},x_{1},x_{2}]=6,0 como a resposta de 2ª ordem.

Passo 6

Agora calculamos a diferença dividida de 3ª ordem usando as duas diferenças de 2ª ordem que obtivemos:
f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}] = \frac{f[x_{1},x_{2},x_{3}] - f[x_{0},x_{1},x_{2}]}{x_{3}-x_{0}}.
Substituindo os números já calculados:
f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}] = \frac{9,0 - 6,0}{4,0-1,0} = \frac{3,0}{3,0} = 1,0.
Explicação: subtraímos as duas diferenças de 2ª ordem (9,0 menos 6,0 = 3,0) e dividimos pela largura entre x_{3} e x_{0} (que é 3,0), resultando em 1,0.

Passo 7

Interpretação curta e dica para a prova (didática): neste caso particular f(x)=x^{3}+x+2 é um polinômio de grau 3. As diferenças divididas de ordem 3 resultaram em 1,0, que corresponde ao coeficiente do termo x^{3} dividido por 3! multiplicado por algo? Na prática, para polinômios de grau n a diferença dividida de ordem n é constante e igual ao coeficiente do termo de grau n quando os nós são igualmente espaçados, mas aqui o cálculo direto recursivo é o caminho mais seguro em prova. O importante: saiba calcular 1ª ordem, depois 2ª ordem recursivamente, depois 3ª ordem recursivamente — é esse o procedimento.

Resposta

f[x_{0},x_{1},x_{2}] = 6,0
f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}] = 1,0

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