Resolver o sistema pelo método de Gauss- Seidel com varepsilon<10^-3 e xi^(0)=biai i.
[rrrr 5 & 2 & 0 & -1 1 & 8 & -3 & 2 0 & 1 & 6 & 1 1 & -1 & 2 & 9 ][l x1 x2 x3 x4 ]=[r 6 10 -5 0 ]

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para a gente resolver o sistema
$$
5 & 2 & 0 & -1 1 & 8 & -3 & 2 0 & 1 & 6 & 1 1 & -1 & 2 & 9 x = 610-50
\mathbf{x}

varepsilon=10^-3
$$
pelo método de Gauss–Seidel, até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que xi^(0) = bi / aii. O conteúdo aqui é método iterativo para sistemas lineares, e vamos precisar:
1) conferir que a matriz é diagonalmente dominante (garante convergência),
2) usar o chute inicial ,
3) aplicar a regra de Gauss–Seidel: em cada iteração você já usa as componentes mais novas do próprio vetor.

Passo 2

  1. Primeiro, cheque rápido a diagonal dominante:
  • Linha 1: |5| > |2|+|0|+|-1|=3
  • Linha 2: |8| > 1+3+2=6
  • Linha 3: |6| > 1+1=2
  • Linha 4: |9| > 1+2+1=4
    OK, converge.
  1. Chute inicial (já dado):
x1^(0) = 65=1,2, x2^(0) = 108=1,25, x3^(0) = -56approx -0,83333, x4^(0) = 09=0
  1. Fórmulas de iteração Gauss–Seidel (linha a linha):
x1^(k+1) &= 15l(6 - 2,x2^(k) + 0cdot x3^(k) -1,x4^(k)r), x2^(k+1) &= 18l(10 -1,x1^(k+1) -3,x3^(k) +2,x4^(k)r), x3^(k+1) &= 16l(-5 -1,x2^(k+1) +0cdot x1^(k+1) -1,x4^(k)r), x4^(k+1) &= 19l(0 -1,x1^(k+1) +1,x2^(k+1) -2,x3^(k+1)r)

Passo 3

Fazendo a 1ª iteração ( k=0to1):
x1^(1) &= tfrac15(6 -2cdot1,25 +0 -1cdot0)=0,7, x2^(1) &= tfrac18(10 -0,7 -3cdot(-0,83333)+2cdot0)=0,85, x3^(1) &= tfrac16(-5 -0,85 -1cdot0)= -0,975, x4^(1) &= tfrac19(0 -0,7 +0,85 -2cdot(-0,975))approx0,23333
Erro máximo |x^(1)-x^(0)|infty=0,5>10^-3, continua.

Passo 4

2ª iteração ( k=1to2):
x1^(2) &= tfrac15(6 -2cdot0,85 +0,23333)=0,90667, x2^(2) &= tfrac18(10 -0,90667 -3cdot(-0,975) +2cdot0,23333)approx0,71271, x3^(2) &= tfrac16(-5 -0,71271 -0,23333)approx-0,99101, x4^(2) &= tfrac19(0 -0,90667 +0,71271 -2cdot(-0,99101))approx0,19867
Erro máximo approx0,2067>10^-3, continua.

Passo 5

Repetindo até estabilizar (calc. breve das iterações seguintes):
k=3: x^(3)approx(0,95465,0,70937,-0,98467,0,19156), erro approx0,0480
k=4: x^(4)approx(0,95456,0,71354,-0,98418,0,19193), erro approx0,0042
k=5: x^(5)approx(0,95297,0,71383,-0,98429,0,19216), erro approx0,0016
k=6: x^(6)approx(0,95290,0,71374,-0,98432,0,19216), erro approx0,00009<10^-3

Resposta

A aproximação final (com erro menor que 10^-3) é
boxedxapprox 0,95290 0,71374 -0,98432 0,19216

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