Resolva o sistema [rrr10 & 3 & -2 2 & 8 & -1 1 & 1 & 5][cx1 x2 x3]=[c57 20 -4] pelo processo de Gauss-Seidel com varepsilon<10^-5 e xi^(0)=biai i.

Passo 1

Resumo da questão: a gente precisa resolver o sistema
[
10 & 3 & -2 2 & 8 & -1 1 & 1 & 5 x1x2x3 = 5720-4


]
pelo método iterativo de Gauss–Seidel, com tolerância e chute inicial .
Conteúdo: método de Gauss–Seidel (iterativo), critério de parada por diferença entre iterações.
O que vamos precisar:
  1. Fórmulas de atualização de Gauss–Seidel.
  2. Chute inicial .
  3. Iterar até que .

Passo 2

Teoria e fórmulas: em Gauss–Seidel, cada componente é atualizada usando valores já novos da mesma iteração, assim:
x1^(k+1) &= 110l(57 - 3,x2^(k) +2,x3^(k)r), x2^(k+1) &= 18l(20 - 2,x1^(k+1) +1,x3^(k)r), x3^(k+1) &= 15l(-4 - 1,x1^(k+1) -1,x2^(k+1)r)
Chute inicial:
x1^(0)=5710=5.7, x2^(0)=208=2.5, x3^(0)=-45=-0.8

Passo 3

Vamos iterar e calcular o erro x1^(1)&=tfrac57-3cdot2.5+2cdot(-0.8)10=4.79, x2^(1)&=tfrac20-2cdot4.79+(-0.8)8approx1.2025, x3^(1)&=tfrac-4-4.79-1.20255approx-1.9985, varepsilon^(1)&=max(|4.79-5.7|,|1.2025-2.5|,|-1.9985-(-0.8)|)approx1.2975 .
k=1:

Passo 4

Continuando até a convergência:
k=2: ,
k=3: ,
k=4: ,
k=5: ,
k=6: ,
k=7: , .

Passo 5

Parou em porque a maior diferença entre iterações ficou abaixo de .

Resposta

(x1,,x2,,x3)approx(5.00000,,1.00000,,-2.00000)

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