Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=(2-raizn)(raizn-1)raizn+7 Resp.D.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Determine se a sequência
an=(2-raizn)(raizn-1)raizn+7
converge ou diverge. Se convergir, ache o limite.”
Isso é tópico de limite de sequência quando . Vamos precisar manipular a expressão, identificar o termo que mais “cresce” e ver o comportamento pra gigante.

Passo 2

Primeiro, troca an=(2-t)(t-1)t+7 por uma variável mais simples, digamos (2-t)(t-1)=2t-2 -t^2 +t = -t^2 +3t -2 . Então
an=-t^2+3t-2t+7
Expande o numerador (polinômio é só distribuir):
Logo
Aqui usei a teoria de multiplicação e soma de polinômios.

Passo 3

Agora, pra ver o que rola quando an =-t^2+3t-2t+7 =tl(-t+3-tfrac2tr)tl(1+tfrac7tr) =-t+3-tfrac2t1+tfrac7t (ou seja ), a gente divide numerador e denominador pela maior potência de , que é :
Esse truque faz parte da regra de “racionalizar” ou “normalizar” um quociente para ver o limite.

Passo 4

Quando anapprox-t+3+01+0=-t+3 :

  • Fica
E como , . Ou seja, a sequência não se aproxima de um número finito: ela cai sem parar.

Resposta

A sequência diverge (vai para ).

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