Resolver os sistemas pelo método de eliminação de Gauss
\begin{aligned}&\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}^{(k)}+3 x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)}-x_{4}^{(k)}=6.9 \\\ -x_{1}^{(k)}+x_{2}^{(k)}+-4 x_{3}^{(k)}-x_{4}^{(k)}=-6.6 \x_{1}^{(k)}+x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)}+x_{4}^{(k)}=10.2 \\\ 4 x_{1}^{(k)}-5 x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)}-2 x_{4}^{(k)}=-12.3\end{array}\right. \\& S x^{(0)}=\left(\begin{array}{llll}0.9 & -1.2 & 1.21 & 1.1\end{array}\right)^{T}\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas pelo método de eliminação de Gauss. Vamos usar os conceitos de matriz aumentada, escolha de pivôs, eliminação para zerar abaixo dos pivôs e, por fim, substituição regressiva para obter x_1,x_2,x_3,x_4.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 1 & -1 & 6.9\\\\ -1 & 1 & -4 & -1 & -6.6\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 10.2\\\\ 4 & -5 & 1 & -2 & -12.3 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos a primeira coluna nas linhas 2, 3 e 4 usando o pivô a_{11}=2. Para cada linha i, o multiplicador é
m_{i1}=\frac{a_{i1}}{a_{11}}.
  • Linha 2: m_{21}=-\tfrac12=-0.5, nova linha 2 = linha 2 - m_{21} \timeslinha 1 = linha 2 + 0.5 linha 1
  • Linha 3: m_{31}=+\tfrac12=0.5, nova linha 3 = linha 3 - 0.5 linha 1
  • Linha 4: m_{41}=2, nova linha 4 = linha 4 - 2 linha 1
Após essas operações obtemos:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 1 & -1 & 6.9\\\\ 0 & 2.5 & -3.5 & -1.5 & -3.15\\\\ 0 & -0.5 & 0.5 & 1.5 & 6.75\\\\ 0 & -11 & -1 & 0 & -26.1 \end{array}\right]

Passo 4

Agora usamos o pivô a_{22}=2.5 para zerar as entradas abaixo dele na coluna 2. Os multiplicadores são
m_{32}=\frac{-0.5}{2.5}=-0.2,\quad m_{42}=\frac{-11}{2.5}=-4.4.
  • Linha 3 ← linha 3 - m_{32} \timeslinha 2 = linha 3 + 0.2 linha 2
  • Linha 4 ← linha 4 - m_{42} \timeslinha 2 = linha 4 + 4.4 linha 2
O resultado é
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 1 & -1 & 6.9\\\\ 0 & 2.5 & -3.5 & -1.5 & -3.15\\\\ 0 & 0 & -0.2 & 1.2 & 6.12\\\\ 0 & 0 & -16.4 & -6.6 & -39.96 \end{array}\right]

Passo 5

Em seguida, com o pivô a_{33}=-0.2, zeramos a entrada abaixo dele na coluna 3. O multiplicador é
m_{43}=\frac{-16.4}{-0.2}=82.
  • Linha 4 ← linha 4 - 82 linha 3
Isso produz a última linha da forma
[\,0\;\;0\;\;0\;\;-105\mid -541.8\,].

Passo 6

Fazemos a substituição regressiva para encontrar as incógnitas:
  1. Da linha 4: -105\,x_{4}=-541.8 \quad\Longrightarrow\quad x_{4}=\frac{-541.8}{-105}=5.16.
  2. Da linha 3: -0.2\,x_{3}+1.2\,x_{4}=6.12 \quad\Longrightarrow\quad -0.2\,x_{3}+1.2\cdot5.16=6.12 \;\Longrightarrow\; x_{3}=0.36.
  3. Da linha 2: 2.5\,x_{2}-3.5\,x_{3}-1.5\,x_{4}=-3.15 \quad\Longrightarrow\quad 2.5\,x_{2}-3.5\cdot0.36-1.5\cdot5.16=-3.15 \;\Longrightarrow\; x_{2}=2.34.
  4. Da linha 1: 2\,x_{1}+3\,x_{2}+x_{3}-x_{4}=6.9 \quad\Longrightarrow\quad 2\,x_{1}+3\cdot2.34+0.36-5.16=6.9 \;\Longrightarrow\; x_{1}=2.34.

Resposta

x_{1}=2.34,\quad x_{2}=2.34,\quad x_{3}=0.36,\quad x_{4}=5.16.

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