Resolver os sistemas pelo método de eliminação de Gauss
\begin{aligned}& \begin{cases}x_{1}^{(k)}+x_{2}^{(k)}+2 x_{3}^{(k)}+4 x_{4}^{(k)} & =7,12 \x_{1}^{(k)}+x_{2}^{(k)}+5 x_{3}^{(k)}+6 x_{4}^{(k)} & =12,02 \\\ 2 x_{1}^{(k)}+5 x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)}+2 x_{4}^{(k)} & =14,9 \\\ 4 x_{1}^{(k)}+6 x_{2}^{(k)}+2 x_{3}^{(k)}+x_{4}^{(k)} & =20,7\end{cases} \\& S x^{(0)}=(-0,92-1,23-0,71-1,11)^{T}\end{aligned}

Passo 1

Resumindo o enunciado: vamos resolver o sistema
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+2x_{3}+4x_{4}=7,12,\\\ x_{1}+x_{2}+5x_{3}+6x_{4}=12,02,\\\\ 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}+2x_{4}=14,9,\\\\ 4x_{1}+6x_{2}+2x_{3}+x_{4}=20,7, \end{cases}
pelo método de eliminação de Gauss, ou seja, montamos a matriz aumentada e aplicamos operações de linha para triangularizar.

Passo 2

Subtraímos a linha 1 das linhas 2, 2 × linha 1 da linha 3 e 4 × linha 1 da linha 4. Isso elimina x_{1} das três últimas equações e dá o sistema equivalente
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+2x_{3}+4x_{4}=7,12,\\\\ 3x_{3}+2x_{4}=4,90,\\\\ 3x_{2}-3x_{3}-6x_{4}=0,66,\\\\ 2x_{2}-6x_{3}-15x_{4}=-7,78. \end{cases}

Passo 3

Agora focamos no sub-sistema das três últimas equações. Para eliminar x_{2} entre as duas últimas: multiplicamos a terceira por 2 e a quarta por 3 e subtraímos:
\begin{aligned} &2\bigl(3x_{2}-3x_{3}-6x_{4}=0,66\bigr)\;\Longrightarrow\;6x_{2}-6x_{3}-12x_{4}=1,32,\\\ &3\bigl(2x_{2}-6x_{3}-15x_{4}=-7,78\bigr)\;\Longrightarrow\;6x_{2}-18x_{3}-45x_{4}=-23,34,\\\ &\text{(subtraindo)}\;\;12x_{3}+33x_{4}=24,66. \end{aligned}
Multiplicamos a segunda equação original ( 3x_{3}+2x_{4}=4,90) por 4 e subtraímos da equação acima para eliminar x_{3}:
\begin{aligned} &4\bigl(3x_{3}+2x_{4}=4,90\bigr)\;\Longrightarrow\;12x_{3}+8x_{4}=19,60,\\\ &\bigl(12x_{3}+33x_{4}=24,66\bigr)-\bigl(12x_{3}+8x_{4}=19,60\bigr) \;\Longrightarrow\;25x_{4}=5,06 \;\Longrightarrow\;x_{4}=0,2024. \end{aligned}

Passo 4

Retornamos por substituição:
Da segunda equação 3x_{3}+2x_{4}=4,90
3x_{3}+2\cdot0,2024=4,90 \;\Longrightarrow\; 3x_{3}=4,90-0,4048=4,4952 \;\Longrightarrow\; x_{3}=1,4984.
Da terceira 3x_{2}-3x_{3}-6x_{4}=0,66
3x_{2}-3\cdot1,4984-6\cdot0,2024=0,66 \;\Longrightarrow\; 3x_{2}=0,66+4,4952+1,2144=6,3696 \;\Longrightarrow\; x_{2}=2,1232.
Finalmente, na primeira equação
x_{1}+2,1232+2\cdot1,4984+4\cdot0,2024=7,12 \;\Longrightarrow\; x_{1}=7,12-5,9296=1,1904.

Passo 5

Para verificar Sx^{(0)}, note que S é a matriz identidade de ordem 4, logo
Sx^{(0)}=I\begin{pmatrix}-0,92\\\ -1,23\\\ -0,71\\\ -1,11\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,92\\\ -1,23\\\ -0,71\\\ -1,11\end{pmatrix}.

Resposta

x=(1,1904,\;2,1232,\;1,4984,\;0,2024)^{T}
Sx^{(0)}=(-0,92,\;-1,23,\;-0,71,\;-1,11)^{T}

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