Resolver todas às questões.
Resolver
Seja
e solução
achar
e
Resolver
Seja
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
e informa a forma geral já obtida
As tarefas são: (i) calcular a integral
e (ii) achar o valor da constante
que satisfaz
. Essas são todas as informações relevantes fornecidas.
Passo 2
Explico rapidamente por que a solução está nessa forma (é útil para entender o que vem a seguir). Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é,
Integrando ambos os lados em relação a
dá
e isolando
obtemos exatamente a forma informada:
Então tudo se resume a calcular
e aplicar
.
Passo 3
Vamos calcular
por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
Escolho
(que simplifica ao derivar) e
. Então
Aplicando a fórmula:
Agora calculamos a integral restante:
Portanto
onde
é a constante de integração. Fatorando
:
Passo 4
No formato da solução dada, a constante de integração da integral pode ser absorvida na constante
que já aparece multiplicando
. Por isso podemos tomar a primitiva sem
e manter apenas o
externo. Ou seja, usando
(observando que qualquer
será incorporado em
), a solução fica
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Calculando
:
Igualando a
obtemos
Passo 6
Assim a constante determinada é
. A primitiva calculada (com constante de integração genérica
) foi
e a solução particular com a condição inicial é