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Resolver
Seja y^{\prime}+3 y=x \operatorname{com} y(0)=3 e solução y(x)=e^{-3 x} \int\left(x e^{3 x} d x\right)+C e^{-3 x} achar C e \int\left(x e^{3 x} d x\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
y'+3y=x,\qquad y(0)=3,
e informa a forma geral já obtida
y(x)=e^{-3x}\int\!\bigl(xe^{3x}\,dx\bigr)+C e^{-3x}.
As tarefas são: (i) calcular a integral \int\!x e^{3x}\,dx e (ii) achar o valor da constante C que satisfaz y(0)=3. Essas são todas as informações relevantes fornecidas.

Passo 2

Explico rapidamente por que a solução está nessa forma (é útil para entender o que vem a seguir). Multiplicando a equação por e^{3x} obtemos
e^{3x}y' + 3e^{3x}y = x e^{3x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{3x}y, isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}y\bigr)=x e^{3x}.
Integrando ambos os lados em relação a x
e^{3x}y=\int x e^{3x}\,dx + C,
e isolando y obtemos exatamente a forma informada:
y(x)=e^{-3x}\int x e^{3x}\,dx + C e^{-3x}.
Então tudo se resume a calcular \int x e^{3x}\,dx e aplicar y(0)=3.

Passo 3

Vamos calcular \int x e^{3x}\,dx por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho u=x (que simplifica ao derivar) e dv=e^{3x}\,dx. Então
du=dx,\qquad v=\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx.
Agora calculamos a integral restante:
\int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3x}=\frac{1}{9}e^{3x}.
Portanto
\int x e^{3x}\,dx = \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} + K,
onde K é a constante de integração. Fatorando e^{3x}:
\int x e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{3}\Bigl(x-\frac{1}{3}\Bigr) + K.

Passo 4

No formato da solução dada, a constante de integração da integral pode ser absorvida na constante C que já aparece multiplicando e^{-3x}. Por isso podemos tomar a primitiva sem K e manter apenas o +C e^{-3x} externo. Ou seja, usando
\int x e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{3}\Bigl(x-\frac{1}{3}\Bigr)
(observando que qualquer +K será incorporado em C), a solução fica
y(x)=e^{-3x}\cdot\frac{e^{3x}}{3}\Bigl(x-\frac{1}{3}\Bigr)+C e^{-3x} = \frac{x}{3}-\frac{1}{9} + C e^{-3x}.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=3. Calculando y(0):
y(0)=\frac{0}{3}-\frac{1}{9}+C e^{0} = -\frac{1}{9}+C.
Igualando a 3 obtemos
-\frac{1}{9}+C=3 \quad\Rightarrow\quad C=3+\frac{1}{9}=\frac{27}{9}+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}.

Passo 6

Assim a constante determinada é C=\dfrac{28}{9}. A primitiva calculada (com constante de integração genérica K) foi
\int x e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{3}\Bigl(x-\frac{1}{3}\Bigr) + K,
e a solução particular com a condição inicial é
y(x)=\frac{x}{3}-\frac{1}{9}+\frac{28}{9}e^{-3x}.

Resposta

\displaystyle C=\frac{28}{9}
\displaystyle \int x e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{3}\Bigl(x-\frac{1}{3}\Bigr)+K

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