Resolver todas às questões.
Resolver
Seja
com
Resolver
Seja
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
com
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaça a equação e a condição inicial.
Passo 2
Esta é uma equação linear de primeira ordem no formato padrão
Aqui identificamos
Para equações desse tipo usamos o fator integrante
, que é definido por
A ideia é multiplicar a equação por
para transformar o lado esquerdo na derivada do produto
.
Passo 3
Calculemos o fator integrante. Como
(constante), temos
Observe que
, o que será útil para reconhecer a derivada do produto.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
O lado direito simplifica para
. No lado esquerdo reconhecemos a derivada do produto:
Portanto obtemos a igualdade em forma derivada:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Usamos a regra
. Assim
logo
Passo 6
Isolando
dividindo por
:
Simplificando
, obtemos a solução geral:
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Isolando
:
Passo 8
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Como verificação rápida: em
isso dá
, como exigido.