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Resolver
Seja y^{\prime}+8 y=e^{5 x} com y(0)=5

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y' + 8y = e^{5x},
com
y(0)=5.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação e a condição inicial.

Passo 2

Esta é uma equação linear de primeira ordem no formato padrão
y' + p(x)\,y = q(x).
Aqui identificamos
p(x)=8,\qquad q(x)=e^{5x}.
Para equações desse tipo usamos o fator integrante \mu(x), que é definido por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
A ideia é multiplicar a equação por \mu(x) para transformar o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)y.

Passo 3

Calculemos o fator integrante. Como p(x)=8 (constante), temos
\mu(x)=e^{\int 8\,dx}=e^{8x}.
Observe que \mu'(x)=8e^{8x}, o que será útil para reconhecer a derivada do produto.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{8x}:
e^{8x}y' + 8e^{8x}y = e^{8x}e^{5x}.
O lado direito simplifica para e^{13x}. No lado esquerdo reconhecemos a derivada do produto:
\bigl(e^{8x}y\bigr)' = e^{8x}y' + 8e^{8x}y.
Portanto obtemos a igualdade em forma derivada:
\bigl(e^{8x}y\bigr)' = e^{13x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{8x}y = \int e^{13x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Usamos a regra \int e^{ax}\,dx = \dfrac{1}{a}e^{ax}. Assim
\int e^{13x}\,dx = \frac{1}{13}e^{13x},
logo
e^{8x}y = \frac{1}{13}e^{13x} + C.

Passo 6

Isolando y dividindo por e^{8x}:
y(x) = \frac{1}{13}e^{13x}e^{-8x} + C e^{-8x}.
Simplificando e^{13x}e^{-8x}=e^{5x}, obtemos a solução geral:
y(x) = \frac{1}{13}e^{5x} + C e^{-8x}.

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=5. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0)=\frac{1}{13}e^{0} + C e^{0} = \frac{1}{13} + C = 5.
Isolando C:
C = 5 - \frac{1}{13} = \frac{65}{13} - \frac{1}{13} = \frac{64}{13}.

Passo 8

Substituindo C na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x) = \frac{1}{13}e^{5x} + \frac{64}{13}e^{-8x}.
Como verificação rápida: em x=0 isso dá y(0)=\dfrac{1}{13}+\dfrac{64}{13}=\dfrac{65}{13}=5, como exigido.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{1}{13}e^{5x}+\frac{64}{13}e^{-8x}

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