Responda as seguintes questões:
Dê a condição de convergência do método do ponto fixo;

Passo 1

O enunciado pede a condição de convergência do método de ponto fixo, cujo esquema iterativo é dado por
xk+1 = g(xk)
O conteúdo principal é o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que fornece critérios (globais e locais) para que essa sequência convirja a uma solução da equação x=g(x).

Passo 2

Para garantir convergência global em um intervalo [a,b], precisamos de duas hipóteses:
  1. g é contínua em [a,b] e mapeia [a,b] em si mesma, isto é,
g([a,b]) subseteq [a,b]
  1. g é diferenciável em (a,b) e existe uma constante Lin[0,1) tal que
maxxin[a,b] l|g'(x)r| <= L < 1
Sob essas condições, g é uma contração em [a,b] e a iteração converge para o único ponto fixo em [a,b].

Passo 3

Localmente, se alpha é um ponto fixo de g (ou seja, g(alpha)=alpha), basta verificar que
l|g'(alpha)r| < 1,
pois então alpha é um ponto atrator e a iteração, iniciada suficientemente próxima de alpha, converge para alpha.

Resposta

A condição de convergência do método do ponto fixo é que exista um intervalo [a,b] tal que
g([a,b]) subseteq [a,b] e maxxin[a,b] l|g'(x)r| = L < 1
Em particular, no ponto fixo alpha deve valer l|g'(alpha)r|<1.

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