Responda as seguintes questões:
Dê a condição de convergência do método do ponto fixo;
Passo 1
O enunciado pede a condição de convergência do método de ponto fixo, cujo esquema iterativo é dado por
O conteúdo principal é o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que fornece critérios (globais e locais) para que essa sequência convirja a uma solução da equação .
Passo 2
Para garantir convergência global em um intervalo , precisamos de duas hipóteses:
é contínua em e mapeia em si mesma, isto é,
é diferenciável em e existe uma constante tal que
Sob essas condições, g é uma contração em [a,b] e a iteração converge para o único ponto fixo em [a,b].
Passo 3
Localmente, se alpha é um ponto fixo de g (ou seja, g(alpha)=alpha), basta verificar que
l|g'(alpha)r| < 1,
pois então alpha é um ponto atrator e a iteração, iniciada suficientemente próxima de alpha, converge para alpha.
Resposta
A condição de convergência do método do ponto fixo é que exista um intervalo [a,b] tal que
g([a,b]) subseteq [a,b] e maxxin[a,b] l|g'(x)r| = L < 1
Em particular, no ponto fixo alpha deve valer l|g'(alpha)r|<1.