Responda as seguintes questões:
Explique o que garante a existência de uma raiz no intervalo [a, b] para o método da bisseção;

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a condição que nos assegura que existe ao menos uma raiz de uma função f dentro de um intervalo [a,b] quando aplicamos o método da bisseção. Isso envolve o conteúdo de continuidade de funções e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, precisamos que a função f seja contínua em todo o intervalo [a,b]. Sem continuidade, não podemos garantir que f “passe” por zero ao mudar de valor.

Passo 3

Em seguida, avaliamos os valores de f nas extremidades. O método da bisseção exige que
f(a),f(b)<0,
ou seja, que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Isso garante que em a e em b a função está em lados diferentes do eixo x.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário, concluímos que se f é contínua em [a,b] e f(a),f(b)<0, então existe pelo menos um ponto cin(a,b) tal que
f(c)=0

Resposta

A existência de uma raiz no intervalo [a,b] para o método da bisseção é garantida pelo Teorema do Valor Intermediário: como f é contínua em [a,b] e f(a),f(b)<0, há pelo menos um cin(a,b) com f(c)=0.

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