Responda
ou
( ) A interpolação polinomial é exata para qualquer função que seja um polinômio de grau menor ou igual a n, se usada com
pontos.
( ) A interpolação polinomial é exata para qualquer função que seja um polinômio de grau menor ou igual a n, se usada com
Passo 1
Beleza, o exercício manda a gente dizer se é Verdadeiro (V) ou Falso (F) a frase:
“ A interpolação polinomial é exata para qualquer função que seja um polinômio de grau menor ou igual a n, se usada com n+1 pontos.”
Isso cai em Métodos Numéricos / Interpolação Polinomial. Para resolver, vamos lembrar o que é interpolação polinomial, a propriedade de unicidade do polinômio interpolador de grau ≤ n em n+1 pontos e por que, se a função original já é um polinômio de grau ≤ n, o interpolador vai coincidir exatamente com ela.
“ A interpolação polinomial é exata para qualquer função que seja um polinômio de grau menor ou igual a n, se usada com n+1 pontos.”
Isso cai em Métodos Numéricos / Interpolação Polinomial. Para resolver, vamos lembrar o que é interpolação polinomial, a propriedade de unicidade do polinômio interpolador de grau ≤ n em n+1 pontos e por que, se a função original já é um polinômio de grau ≤ n, o interpolador vai coincidir exatamente com ela.
Passo 2
O lance é: dado uma função
e
pontos
, existe um único polinômio
de grau ≤ n que passa por todos esses pontos. Esse é o polinômio interpolador (por exemplo, na forma de Lagrange).
Passo 3
Agora, se
já é um polinômio de grau ≤ n, considere a diferença
-
também é um polinômio de grau ≤ n. - Para cada
, temos , porque o interpolador encaixa .
Logo,tem raízes, mas seu grau máximo é . A única forma de um polinômio de grau ≤ n ter mais de raízes é ele ser o polinômio zero. Ou seja, .
Isso mostra quepara todo .
Resposta
V