Responda V ou F
( ) A interpolação polinomial é exata para qualquer função que seja um polinômio de grau menor ou igual a n, se usada com n+1 pontos.

Passo 1

Beleza, o exercício manda a gente dizer se é Verdadeiro (V) ou Falso (F) a frase:
“ A interpolação polinomial é exata para qualquer função que seja um polinômio de grau menor ou igual a n, se usada com n+1 pontos.”
Isso cai em Métodos Numéricos / Interpolação Polinomial. Para resolver, vamos lembrar o que é interpolação polinomial, a propriedade de unicidade do polinômio interpolador de grau ≤ n em n+1 pontos e por que, se a função original já é um polinômio de grau ≤ n, o interpolador vai coincidir exatamente com ela.

Passo 2

O lance é: dado uma função e pontos , existe um único polinômio de grau ≤ n que passa por todos esses pontos. Esse é o polinômio interpolador (por exemplo, na forma de Lagrange).

Passo 3

Agora, se Q(x) = f(x) - P(x) já é um polinômio de grau ≤ n, considere a diferença
  1. também é um polinômio de grau ≤ n.
  2. Para cada , temos , porque o interpolador encaixa .
    Logo, tem raízes, mas seu grau máximo é . A única forma de um polinômio de grau ≤ n ter mais de raízes é ele ser o polinômio zero. Ou seja, .
    Isso mostra que para todo .

Resposta

V

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