Responda
ou
( ) Quanto mais próximo o valor a ser interpolado for de um ponto-base, melhor será o valor obtido na interpolação.
( ) Quanto mais próximo o valor a ser interpolado for de um ponto-base, melhor será o valor obtido na interpolação.
Passo 1
Beleza, o enunciado tá assim: “Quanto mais próximo o valor a ser interpolado for de um ponto-base, melhor será o valor obtido na interpolação. Verdadeiro ou falso?”
Conteúdo: interpolação polinomial (mais especificamente pelo método de Lagrange) e o termo de erro associado.
O que vamos precisar: entender o que é o polinômio interpolador, quem são os pontos-base e qual é a expressão do erro de interpolação.
Conteúdo: interpolação polinomial (mais especificamente pelo método de Lagrange) e o termo de erro associado.
O que vamos precisar: entender o que é o polinômio interpolador, quem são os pontos-base
Passo 2
Primeiro, o que é interpolação?
Você tem pontos
e constrói um polinômio
de grau ≤
que “casa” com esses valores. No método de Lagrange, esse polinômio é dado por
Você tem
onde cada
é um “bloco” que vale 1 em
e 0 nos outros
.
Passo 3
Agora, a parte crucial: o erro da interpolação. Se você tem uma função suave
e o polinômio de Lagrange
, existe um
entre o menor e maior dos
tal que
Isso significa que a diferença entre o valor real
e o valor interpolado
é exatamente esse produto de fatores
multiplicado por um termo que depende da derivada de ordem
.
Passo 4
Repara só: nesse produto
, cada fator
influencia o tamanho do erro. Se
estiver bem próximo de algum ponto-base
, aí
fica bem pequenininho — e, consequentemente, todo o produto tende a zero ou fica muito pequeno. Logo, o erro
também fica menor.
Resposta
V (Verdadeiro)