Responda
ou
( ) Sempre é possível interpolador uma função f por um polinômio
.
( ) Sempre é possível interpolador uma função f por um polinômio
Passo 1
Beleza, vamos recapitular: a questão manda responder “V” ou “F” para a afirmação
“Sempre é possível interpolar uma funçãopor um polinômio .”
Conteúdo: interpolação polinomial.
O que precisamos saber:
- O que significa “interpolar” (fazer um polinômio que, em certos pontos, vale exatamente
); - Quando existe e é único esse polinômio de grau
; - Qual a diferença entre “interpolar em alguns pontos” e “igualar
em todo lugar”.
Passo 2
Primeiro, definição de interpolação: seja um conjunto de
pontos distintos
. Um polinômio
de grau ≤
interpola
nesses pontos se
Teorema básico (unicidade): dados
nós distintos e valores
, existe um só polinômio de grau ≤
que faça essa brincadeira. Aqui a “magia” é o método de Lagrange, mas não precisamos entrar nele agora.
Passo 3
Porém, esse resultado só garante que
bate com
nos
pontos escolhidos. A afirmação “sempre é possível interpolar” pode ser lida de duas formas:
- Você sempre encontra, para qualquer função
e qualquer escolha de pontos, um que coincide em cada ponto: isso é verdade (pela unicidade). - Você sempre acha um polinômio
que seja igual a para todos os — ou seja, represente completamente com grau finito: isso só vale se for ela própria um polinômio de grau ≤ .
A questão, do jeito que tá, sugere a segunda interpretação (“interpolar” querendo dizer “representar” globalmente). Para uma função qualquer, tipo
, não existe polinômio de grau finito igual a
em todo o real.
Passo 4
Exemplo rápido:
. Se existisse um polinômio
tal que
então a diferença
teria infinitas raízes (todos os
), mas não poderia ser o polinômio nulo se o grau de
for finito. Conclusão: só dá certo se
já for polinomial de grau ≤
.
Resposta
F