Responda V ou F
( ) Sempre é possível interpolador uma função f por um polinômio pn(x).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: a questão manda responder “V” ou “F” para a afirmação
“Sempre é possível interpolar uma função por um polinômio .”
Conteúdo: interpolação polinomial.
O que precisamos saber:
  1. O que significa “interpolar” (fazer um polinômio que, em certos pontos, vale exatamente );
  2. Quando existe e é único esse polinômio de grau ;
  3. Qual a diferença entre “interpolar em alguns pontos” e “igualar em todo lugar”.

Passo 2

Primeiro, definição de interpolação: seja um conjunto de pn(xi) = f(xi)para i=0,1,dots,n pontos distintos . Um polinômio de grau ≤ interpola nesses pontos se
Teorema básico (unicidade): dados nós distintos e valores , existe um só polinômio de grau ≤ que faça essa brincadeira. Aqui a “magia” é o método de Lagrange, mas não precisamos entrar nele agora.

Passo 3

Porém, esse resultado só garante que bate com nos pontos escolhidos. A afirmação “sempre é possível interpolar” pode ser lida de duas formas:
  1. Você sempre encontra, para qualquer função e qualquer escolha de pontos, um que coincide em cada ponto: isso é verdade (pela unicidade).
  2. Você sempre acha um polinômio que seja igual a para todos os — ou seja, represente completamente com grau finito: isso só vale se for ela própria um polinômio de grau ≤ .
A questão, do jeito que tá, sugere a segunda interpretação (“interpolar” querendo dizer “representar” globalmente). Para uma função qualquer, tipo , não existe polinômio de grau finito igual a em todo o real.

Passo 4

Exemplo rápido: pn(x)=e^xforall xinR, . Se existisse um polinômio tal que
então a diferença teria infinitas raízes (todos os ), mas não poderia ser o polinômio nulo se o grau de for finito. Conclusão: só dá certo se já for polinomial de grau ≤ .

Resposta

F

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