Responda verdadeiro ou falso (e justifique):
Os autovalores de A são: 3,-1+i,-1-i. Então A é simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado diz e o que precisamos:
– Enunciado: “Os autovalores de são . Então é simétrica.”
– Matéria: Álgebra Linear – propriedades de matrizes simétricas e autovalores.
– O que precisamos: saber que toda matriz real simétrica tem apenas autovalores reais.

Passo 2

Teoria que vamos usar (sem pular etapas):
  1. Uma matriz é simétrica se e todos seus elementos são reais.
  2. Teorema fundamental: toda matriz real simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal e, em particular, todos os seus autovalores são reais.

Passo 3

Agora, olha os autovalores que a gente recebeu:
3,,-1 + i,,-1 - i
Repara que e são números complexos (não são reais).

Passo 4

Como vimos, se fosse simétrica e real, não poderia ter autovalores complexos. Ter e na lista contradiz o teorema de que matrizes simétricas têm apenas valores reais.

Resposta

FALSO. A presença de autovalores não reais ( e ) impede de ser uma matriz simétrica real.

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