Responda verdadeiro ou falso (e justifique):
Os autovalores de
são:
. Então
é simétrica.
Os autovalores de
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado diz e o que precisamos:
– Enunciado: “Os autovalores de são
. Então
é simétrica.”
– Matéria: Álgebra Linear – propriedades de matrizes simétricas e autovalores.
– O que precisamos: saber que toda matriz real simétrica tem apenas autovalores reais.
– Enunciado: “Os autovalores de
– Matéria: Álgebra Linear – propriedades de matrizes simétricas e autovalores.
– O que precisamos: saber que toda matriz real simétrica tem apenas autovalores reais.
Passo 2
Teoria que vamos usar (sem pular etapas):
- Uma matriz
é simétrica se e todos seus elementos são reais. - Teorema fundamental: toda matriz real simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal e, em particular, todos os seus autovalores são reais.
Passo 3
Agora, olha os autovalores que a gente recebeu:
Repara que
e
são números complexos (não são reais).
Passo 4
Como vimos, se
fosse simétrica e real, não poderia ter autovalores complexos. Ter
e
na lista contradiz o teorema de que matrizes simétricas têm apenas valores reais.
Resposta
FALSO. A presença de autovalores não reais (
e
) impede
de ser uma matriz simétrica real.