A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:
temperatura 20 25 30 35 40 45 50
calor específico 0.99907 0.99852 0.99826 0.99818 0.99828 0.99849 0.99878
Resolva os seguintes itens a seguir através de um processo de interpolação quadrática.
a temperatura para a qual o calor específico é 0.99837

Passo 1

Beleza, temos uma tabela que dá o calor específico da água em função da temperatura. A questão pede: “Para qual temperatura o calor específico vale 0.99837?” E queremos achar essa temperatura usando interpolação quadrática – ou seja, vamos ajustar um polinômio de grau 2 a três pontos próximos e depois resolver esse polinômio para encontrar .
O que a gente vai precisar:
  1. Escolher três pontos onde os valores de calor específico estão “em volta” de 0.99837.
  2. Montar o polinômio interpolador (aqui uso a forma de Newton com diferenças divididas, mas poderia ser Lagrange).
  3. Igualar esse polinômio a 0.99837 e resolver a equação quadrática resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar na tabela quais três pontos pegar. Para (T0,c0)=(35,0.99818), (T1,c1)=(40,0.99828), (T2,c2)=(45,0.99849) a gente vê que fica entre 0.99828 (a 40 °C) e 0.99849 (a 45 °C). Então escolhemos os pontos:

Passo 3

Agora explico rapidinho o “esquema” de Newton (diferenças divididas):
– A diferença de primeira ordem entre f[Ti,Ti+1] ;=;ci+1-ciTi+1-Ti e f[T0,T1,T2] =f[T1,T2]-f[T0,T1]T2-T0 é
c(T) = c0 + f[T0,T1],(T-T0) + f[T0,T1,T2],(T-T0)(T-T1)
– A diferença dividida de segunda ordem para três pontos é
Com esses valores, o polinômio em forma de Newton fica

Passo 4

Vamos calcular:
  1. Diferenças de primeira ordem
f[T0,T1] =0.99828-0.9981840-35 =0.000105 =2.0times10^-5,
f[T1,T2] =0.99849-0.9982845-40 =0.000215 =4.2times10^-5
  1. Diferença dividida de segunda ordem
f[T0,T1,T2] =4.2times10^-5-2.0times10^-545-35 =2.2times10^-510 =2.2times10^-6
Logo o polinômio é
c(T) =0.99818 +2.0times10^-5,(T-35) +2.2times10^-6,(T-35)(T-40)

Passo 5

Agora igualamos a 0.99837 e rearranjamos para formar uma quadrática em 0.99818 +2.0times10^-5(T-35) +2.2times10^-6(T-35)(T-40) =0.99837 :
2.2times10^-6,T^2 -1.45times10^-4,T +2.19times10^-3 =0
Subtraindo 0.99818 dos dois lados e expandindo, chegamos a

Passo 6

Usamos a fórmula de Bhaskara:
T=1.45times10^-4pmraiz(1.45times10^-4)^2-4,(2.2times10^-6)(2.19times10^-3) 2,(2.2times10^-6)
Isso dá duas raízes aproximadas:
T1approx23.45 ^circC e T2approx42.46 ^circC
Como nosso polinômio foi ajustado entre 35 °C e 45 °C, a resposta relevante é

Resposta

A temperatura para a qual boxed42.46 ^circC é aproximadamente

Exercícios relacionados