A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:
temperatura | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
calor específico | 0.99907 | 0.99852 | 0.99826 | 0.99818 | 0.99828 | 0.99849 | 0.99878 |
Resolva os seguintes itens a seguir através de um processo de interpolação quadrática.
a temperatura para a qual o calor específico é 0.99837
a temperatura para a qual o calor específico é 0.99837
Passo 1
Beleza, temos uma tabela que dá o calor específico da água em função da temperatura. A questão pede: “Para qual temperatura o calor específico vale 0.99837?” E queremos achar essa temperatura usando interpolação quadrática – ou seja, vamos ajustar um polinômio de grau 2 a três pontos próximos e depois resolver esse polinômio para encontrar
.
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- Escolher três pontos onde os valores de calor específico estão “em volta” de 0.99837.
- Montar o polinômio interpolador (aqui uso a forma de Newton com diferenças divididas, mas poderia ser Lagrange).
- Igualar esse polinômio a 0.99837 e resolver a equação quadrática resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar na tabela quais três pontos pegar. Para
a gente vê que fica entre 0.99828 (a 40 °C) e 0.99849 (a 45 °C). Então escolhemos os pontos:
Passo 3
Agora explico rapidinho o “esquema” de Newton (diferenças divididas):
– A diferença de primeira ordem entre e
é
– A diferença de primeira ordem entre
– A diferença dividida de segunda ordem para três pontos é
Com esses valores, o polinômio em forma de Newton fica
Passo 4
Vamos calcular:
- Diferenças de primeira ordem
- Diferença dividida de segunda ordem
Logo o polinômio é
Passo 5
Agora igualamos a 0.99837 e rearranjamos para formar uma quadrática em
:
Subtraindo 0.99818 dos dois lados e expandindo, chegamos a
Passo 6
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Isso dá duas raízes aproximadas:
Como nosso polinômio foi ajustado entre 35 °C e 45 °C, a resposta relevante é
Resposta
A temperatura para a qual
é aproximadamente