Responda verdadeiro ou falso (e justifique):
Os autovalores de A são: 3,2+i, 2-i. Então o traço de A é 7 e o determinante de A é 15.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente verificar se, dado que os autovalores de são , o traço de é 7 e o determinante de é 15.
Conteúdo: Álgebra Linear – relação entre autovalores, traço e determinante.
O que vamos usar:
  1. Traço de uma matriz = soma dos seus autovalores.
  2. Determinante de uma matriz = produto dos seus autovalores.

Passo 2

Traço = soma dos autovalores.
Teoria: Para qualquer matriz tr(A) = 3 + (2+i) + (2-i) = 3 + 2 + i + 2 - i = 3 + 4 = 7 , .
Aqui:
Repara que e se cancelam, deixando só número real.

Passo 3

Determinante = produto dos autovalores.
Teoria: (2+i)(2-i)=2^2 - i^2 = 4 -(-1) = 5 .
Aqui: primeiro multiplico det(A) = 3 times 5 = 15 por :
Então

Resposta

Verdadeiro. Tanto o traço quanto o determinante conferem com as fórmulas de soma e produto dos autovalores.

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