Dado o PVI abaixo e considerando h=0.5,0.25,0.125 e 0.1
Compare seus resultados com a solução exata dada por l y^prime=4-2 x y(0)=2 . Justifique.

Passo 1

Beleza, então o problema é o seguinte: temos o PVI
y'(x) = 4 - 2x, y(0)=2,
e queremos aproximar a solução numérica usando o método de Euler explícito com os passos y(x) = -x^2 + 4x + 2 . Depois, vamos comparar esses valores com a solução exata
O conteúdo aqui é método de Euler para PVI (equações diferenciais ordinárias). Para resolver, vamos precisar:
  • Entender o método de Euler (derivação rápida e fórmula de iteração).
  • Aplicar essa fórmula para cada tamanho de passo até (por exemplo).
  • Calcular o valor exato em : .
  • Comparar e comentar a convergência (erro ~ ).

Passo 2

Teoria do método de Euler:
  1. A derivada é definida por y'(x) ;=;limhto0y(x+h)-y(x)h Se a gente não leva y(x+h)approx y(x) + h,y'(x) ao limite, mas pega um yn+1 = yn + h,f(xn,yn) = yn + hl(4-2xnr) pequeno, dá pra aproximar
  2. No nosso caso, . Então o método de Euler explícito diz que, com ,
É só iterar isso a partir de , até o ponto final (aqui vamos até ).

Passo 3

Vamos executar para cada y(1)approx y8 = 5.125 . Em todos os casos: y(1)approx y10 = 5.10 e o destino é .
a) (2 passos):
  • Passo 1: .
  • Passo 2: .
b) (4 passos):
  • at .
  • at .
  • at .
  • at .
c) (8 passos), resultado final:
d) (10 passos), resultado final:

Passo 4

Solução exata em y(1) = -1^2 + 4cdot1 + 2 = 5 é
Comparando:
  • : (erro ),
  • : (erro ),
  • : (erro ),
  • : (erro ).
A conclusão é que, à medida que diminuímos , a aproximação fica mais perto de 5. Isso faz sentido porque o método de Euler é de primeira ordem: o erro global decresce proporcionalmente a (erro ~ ).

Resposta

Aproximações em pelo método de Euler:
  • :
  • :
  • :
  • :
Solução exata: . Conforme , a solução numérica se aproxima de 5, confirmando a convergência de ordem 1 do método de Euler.

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