Dado o PVI abaixo e considerando
e 0.1
Compare seus resultados com a solução exata dada por
. Justifique.
Passo 1
Beleza, então o problema é o seguinte: temos o PVI
e queremos aproximar a solução numérica usando o método de Euler explícito com os passos
. Depois, vamos comparar esses valores com a solução exata
O conteúdo aqui é método de Euler para PVI (equações diferenciais ordinárias). Para resolver, vamos precisar:
- Entender o método de Euler (derivação rápida e fórmula de iteração).
- Aplicar essa fórmula para cada tamanho de passo até
(por exemplo). - Calcular o valor exato em
: . - Comparar e comentar a convergência (erro ~
).
Passo 2
Teoria do método de Euler:
- A derivada é definida por
Se a gente não leva ao limite, mas pega um pequeno, dá pra aproximar - No nosso caso,
. Então o método de Euler explícito diz que, com ,
É só iterar isso a partir de
,
até o ponto final (aqui vamos até
).
Passo 3
Vamos executar para cada
. Em todos os casos:
e o destino é
.
a)
(2 passos):
- Passo 1:
. - Passo 2:
.
b)
(4 passos):
-
at . -
at . -
at . -
at .
c)
(8 passos), resultado final:
d)
(10 passos), resultado final:
Passo 4
Solução exata em
é
Comparando:
-
: (erro ), -
: (erro ), -
: (erro ), -
: (erro ).
A conclusão é que, à medida que diminuímos
, a aproximação fica mais perto de 5. Isso faz sentido porque o método de Euler é de primeira ordem: o erro global decresce proporcionalmente a
(erro ~
).
Resposta
Aproximações em
pelo método de Euler:
-
: -
: -
: -
:
Solução exata:
. Conforme
, a solução numérica se aproxima de 5, confirmando a convergência de ordem 1 do método de Euler.