Q8: Responda verdadeiro ou falso (e justifique):
-
. Se posto
então o sistema linear
admite solução única.
-
. Se
então o sistema linear
não admite solução.
- A decomposição de Cholesky emprega menos operações elementares que a decomposição
.
- A decomposição de Cholesky só pode ser empregada para se resolver sistemas lineares
se
for simétrica e positiva definida.
- Os autovalores de
são:
. Então
é positiva definida.
- Os autovalores de
são:
. Então
é simétrica.
- Os autovalores de
são:
. Então
.
- Os autovalores de
são:
. Então o traço de
é 7 e o determinante de
é 15 .
- Não é possível resolver um sistema linear
via Fatoração de Cholesky, se
for uma matriz não simétrica, ainda que tenha posto completo.
- A matriz
é malcondicionada para quaisquer valores de
.
Passo 1
Beleza, antes de mais nada vamos recapitular o que tá rolando aqui. Esse exercício tá focado em:
- Sistemas lineares
e a noção de posto (rank) da matriz - Condições de existência e unicidade de solução via comparação de postos de
e da matriz aumentada - Fatorações de matrizes: LU com permutação (
) e Cholesky - Propriedades de matrizes simétricas e definidas positivas
- Autovalores, traço, determinante e condicionamento de matrizes
O que vamos precisar:
- Definir posto de matriz e lembrar o critério de existência/uniqueness de soluções.
- Contar flops aproximados de LU vs. Cholesky.
- Saber o que significa ser simétrica, positiva definida, e como os autovalores entram nisso.
- Calcular traço (soma dos autovalores) e determinante (produto dos autovalores).
- Entender condicionamento (quando uma matriz fica “malcondicionada”).
A partir de agora, cada passo analisa uma afirmação (verdadeiro ou falso) e justifica tudo do zero, sem pular etapas.
Passo 2
Afirmação 1:
“Se , então
admite solução única.”
“Se
Explicando a teoria:
- posto
é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes em . - posto
é o posto da matriz que você monta juntando como coluna extra. - Teorema de existência: o sistema tem alguma solução se, e somente se,
. - Teorema de unicidade: a solução é única se, além de existir, o posto de
(que é igual ao posto aumentado) for igual ao número de incógnitas, ou seja, .
Aqui a afirmação só garante que os dois postos são iguais, mas não fala que são iguais a
. Se esse posto for menor que
, a gente tem infinitas soluções, não única.
Logo, a afirmação é FALSA.
Passo 3
Afirmação 2:
“Se , então
não admite solução.”
“Se
Isso é exatamente o contrapositivo do critério de existência:
- Se o posto de
for maior que o posto de , a matriz aumentada introduziu uma combinação linear que não bate, ou seja, o sistema é inconsistente.
Portanto, a afirmação é VERDADEIRA.
Passo 4
Afirmação 3:
“A decomposição de Cholesky emprega menos operações elementares que a decomposição .”
“A decomposição de Cholesky emprega menos operações elementares que a decomposição
Bastante usada em matrizes simétricas definidas positivas, a Cholesky faz
.
- Complexidade aproximada de LU com pivotamento: cerca de
flops. - Complexidade de Cholesky: cerca de
flops.
Logo, Cholesky usa metade das operações em ordem de grandeza, então é de fato mais leve.
A afirmação é VERDADEIRA.
Passo 5
Afirmação 4:
“A decomposição de Cholesky só pode ser empregada se for simétrica e positiva definida.”
“A decomposição de Cholesky só pode ser empregada se
Teoria básica: Cholesky só existe quando:
-
(simétrica), e -
para todo (definida positiva).
Sem essas condições, não rola fatorar em
.
Logo, é VERDADEIRA.
Passo 6
Afirmação 5:
“Os autovalores de são
. Então
é positiva definida.”
“Os autovalores de
Condição de positiva definida: todos os autovalores devem ser estritamente positivos. Aqui tem um autovalor
.
Portanto, não satisfaz, e a afirmação é FALSA.
Passo 7
Afirmação 6:
“Os autovalores de são
. Então
é simétrica.”
“Os autovalores de
Matriz real e simétrica tem sempre autovalores reais. Aqui aparecem valores complexos não reais (
). Logo,
não pode ser simétrica real.
A afirmação é FALSA.
Passo 8
Afirmação 7:
“Os autovalores de são
. Então
.”
“Os autovalores de
Lembra que
= produto de todos os autovalores.
Logo,
, não diferente de zero.
A afirmação é FALSA.
Passo 9
Afirmação 8:
“Os autovalores de são
. Então
e
.”
“Os autovalores de
- Traço = soma dos autovalores:
- Determinante = produto:
Tudo bate direitinho, então a afirmação é VERDADEIRA.
Passo 10
Afirmação 9:
“Não é possível resolver via Cholesky, se
for não simétrica, mesmo com posto completo.”
“Não é possível resolver
Como já falamos, Cholesky exige simetria (e positividade). Se
, não dá fatorar
.
A afirmação é VERDADEIRA.
Passo 11
Afirmação 10:
“A matriz é malcondicionada para quaisquer valores de
.”
“A matriz
Condição de mal‐condicionamento:
grande.
- Se
for bem longe de zero, digamos , fica perfeitamente comportada. - Só fica malcondicionada quando
aproxima de um valor que torne quase singular (aqui , sobe e desce).
Logo, não é malcondicionada para quaisquer
, só quando
.
A afirmação é FALSA.
Resposta
- Falsa
- Verdadeira
- Verdadeira
- Verdadeira
- Falsa
- Falsa
- Falsa
- Verdadeira
- Verdadeira
- Falsa