Q8: Responda verdadeiro ou falso (e justifique):
  1. A in R^n times n, b in R^n. Se posto (A)=posto([A mid b]) então o sistema linear A x=b admite solução única.
  2. A in R^n times n, b in R^n. Se posto(A) neq posto([A mid b]) então o sistema linear A x=b não admite solução.
  3. A decomposição de Cholesky emprega menos operações elementares que a decomposição P A=L U.
  4. A decomposição de Cholesky só pode ser empregada para se resolver sistemas lineares A x=b se A for simétrica e positiva definida.
  5. Os autovalores de A são: 3,-1,2. Então A é positiva definida.
  6. Os autovalores de A são: 3,-1+i,-1-i. Então A é simétrica.
  7. Os autovalores de A são: 0,-1+i,-1-i. Então det(A) neq 0.
  8. Os autovalores de A são: 3,2+i, 2-i. Então o traço de A é 7 e o determinante de A é 15 .
  9. Não é possível resolver um sistema linear A x=b via Fatoração de Cholesky, se A for uma matriz não simétrica, ainda que tenha posto completo.
  10. A matriz cc1+epsilon & 2 1 & 2 é malcondicionada para quaisquer valores de epsilon in R.

Passo 1

Beleza, antes de mais nada vamos recapitular o que tá rolando aqui. Esse exercício tá focado em:
  • Sistemas lineares Ax=b e a noção de posto (rank) da matriz
  • Condições de existência e unicidade de solução via comparação de postos de A e da matriz aumentada [Amid b]
  • Fatorações de matrizes: LU com permutação ( PA=LU) e Cholesky
  • Propriedades de matrizes simétricas e definidas positivas
  • Autovalores, traço, determinante e condicionamento de matrizes
O que vamos precisar:
  1. Definir posto de matriz e lembrar o critério de existência/uniqueness de soluções.
  2. Contar flops aproximados de LU vs. Cholesky.
  3. Saber o que significa ser simétrica, positiva definida, e como os autovalores entram nisso.
  4. Calcular traço (soma dos autovalores) e determinante (produto dos autovalores).
  5. Entender condicionamento (quando uma matriz fica “malcondicionada”).
A partir de agora, cada passo analisa uma afirmação (verdadeiro ou falso) e justifica tudo do zero, sem pular etapas.

Passo 2

Afirmação 1:
“Se posto(A)=posto([Amid b]), então Ax=b admite solução única.”
Explicando a teoria:
  • posto (A) é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes em A.
  • posto ( [Amid b] ) é o posto da matriz que você monta juntando b como coluna extra.
  • Teorema de existência: o sistema tem alguma solução se, e somente se, posto(A)=posto([Amid b]).
  • Teorema de unicidade: a solução é única se, além de existir, o posto de A (que é igual ao posto aumentado) for igual ao número de incógnitas, ou seja, posto(A)=n.
Aqui a afirmação só garante que os dois postos são iguais, mas não fala que são iguais a n. Se esse posto for menor que n, a gente tem infinitas soluções, não única.
Logo, a afirmação é FALSA.

Passo 3

Afirmação 2:
“Se posto(A)neq posto([Amid b]), então Ax=b não admite solução.”
Isso é exatamente o contrapositivo do critério de existência:
  • Se o posto de [Amid b] for maior que o posto de A, a matriz aumentada introduziu uma combinação linear que não bate, ou seja, o sistema é inconsistente.
Portanto, a afirmação é VERDADEIRA.

Passo 4

Afirmação 3:
“A decomposição de Cholesky emprega menos operações elementares que a decomposição PA=LU.”
Bastante usada em matrizes simétricas definidas positivas, a Cholesky faz A=LL^T.
  • Complexidade aproximada de LU com pivotamento: cerca de tfrac23n^3 flops.
  • Complexidade de Cholesky: cerca de tfrac13n^3 flops.
Logo, Cholesky usa metade das operações em ordem de grandeza, então é de fato mais leve.
A afirmação é VERDADEIRA.

Passo 5

Afirmação 4:
“A decomposição de Cholesky só pode ser empregada se A for simétrica e positiva definida.”
Teoria básica: Cholesky só existe quando:
  1. A = A^T (simétrica), e
  2. x^TAx > 0 para todo xneq 0 (definida positiva).
Sem essas condições, não rola fatorar em LL^T.
Logo, é VERDADEIRA.

Passo 6

Afirmação 5:
“Os autovalores de A são 3,-1,2. Então A é positiva definida.”
Condição de positiva definida: todos os autovalores devem ser estritamente positivos. Aqui tem um autovalor -1<0.
Portanto, não satisfaz, e a afirmação é FALSA.

Passo 7

Afirmação 6:
“Os autovalores de A são 3,-1+i,-1-i. Então A é simétrica.”
Matriz real e simétrica tem sempre autovalores reais. Aqui aparecem valores complexos não reais ( -1pm i). Logo, A não pode ser simétrica real.
A afirmação é FALSA.

Passo 8

Afirmação 7:
“Os autovalores de A são 0,-1+i,-1-i. Então det(A)neq 0.”
Lembra que det(A) = produto de todos os autovalores.
det(A)=0cdot(-1+i)cdot(-1-i)=0
Logo, det(A)=0, não diferente de zero.
A afirmação é FALSA.

Passo 9

Afirmação 8:
“Os autovalores de A são 3,2+i,2-i. Então tr(A)=7 e det(A)=15.”
  • Traço = soma dos autovalores: tr(A)=3+(2+i)+(2-i)=3+2+2=7
    - Determinante = produto:
    (2+i)(2-i)=2^2- i^2=4+1=5,det(A)=3cdot5=15
Tudo bate direitinho, então a afirmação é VERDADEIRA.

Passo 10

Afirmação 9:
“Não é possível resolver Ax=b via Cholesky, se A for não simétrica, mesmo com posto completo.”
Como já falamos, Cholesky exige simetria (e positividade). Se Aneq A^T, não dá fatorar A=LL^T.
A afirmação é VERDADEIRA.

Passo 11

Afirmação 10:
“A matriz A=1+epsilon & 21 & 2 é malcondicionada para quaisquer valores de epsiloninR.”
Condição de mal‐condicionamento: kappa(A)=|A||A^-1| grande.
  • Se epsilon for bem longe de zero, digamos epsilon=100, A fica perfeitamente comportada.
  • Só fica malcondicionada quando epsilon aproxima de um valor que torne A quase singular (aqui det A=(1+epsilon)cdot2-2cdot1=2+2epsilon-2=2epsilon, sobe e desce).
Logo, não é malcondicionada para quaisquer epsilon, só quando epsilonapprox0.
A afirmação é FALSA.

Resposta

  1. Falsa
  2. Verdadeira
  3. Verdadeira
  4. Verdadeira
  5. Falsa
  6. Falsa
  7. Falsa
  8. Verdadeira
  9. Verdadeira
  10. Falsa

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