Utilizando o método da Bisseção, calcular com precisão E <= 0,01 uma raiz da função f(x)=x^3-6 x^2+4 x+1. Utilize intervalo [4, 6]. Faça apenas 3 iterações (n= 0, n=1 e n=2 ) apresentando a solução após essas iterações bem como o erro encontrado (obs: para facilitar as contas, calcule o erro somente na 3^a iteração).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar uma raiz da função

no intervalo usando o método da Bisseção. A ideia é usar continuidade e mudança de sinal (Teorema do Valor Intermediário) pra ir “encolhendo” o intervalo que contém a raiz, calculando o ponto médio e avaliando a função. A cada iteração faremos:
  1. calcular o ponto médio ;
  2. ver o sinal de ;
  3. escolher o subintervalo ou que mantém mudança de sinal.
    Só faremos 3 iterações (chamadas aqui de ) e, depois da terceira, calculamos o erro aproximado.

Passo 2

Iteração x0=4+62=5 :
  • Intervalo inicial: f(5)=5^3-6·5^2+4·5+1=125-150+20+1=-4<0 , .
  • Calcula-se
    e .
    Como , há raiz em .
  • Ponto médio:
  • Avaliamos: Como é negativo e é positivo, a raiz está em .

Passo 3

Iteração x1=5+62=5,5 :
  • Novo intervalo: f(5,5)=5,5^3-6·5,5^2+4·5,5+1 =166,375-181,5+22+1=7,875>0 , .
  • Ponto médio:
  • Avaliamos: Agora e , logo a raiz está em .

Passo 4

Iteração x2=5+5,52=5,25 :
  • Novo intervalo: f(5,25)=5,25^3-6·5,25^2+4·5,25+1 =144,703125-165,375+21+1approx1,328>0 , .
  • Ponto médio:
  • Avaliamos: Então a raiz está agora em .

Passo 5

Cálculo do erro aproximado na 3ª iteração:
No método da bisseção, após cada passo o erro máximo está limitado por
E <= bn-an2
Aqui, depois da 3ª iteração (índice b2-a2=5,25-5=0,25 Rightarrow E <= 0,252=0,125 ),

Resposta

Aproximação da raiz após 3 iterações:
x approx 5,25,
com erro estimado
E <= 0,125

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