As respostas dos exercícios abaixo deve ser justificadas. Respostas sem justificativas não serão aceitas. Escolha apenas 5 questões para resolver. Se mais questões forem resolvidas, apenas as resoluções das 5 primeiras serão consideradas.
Seja I=integral0^1 raiz1-x^2 d x. Calcule um valor aproximado para I usando:
a regra do trapézio;

Passo 1

Beleza, a gente tem que aproximar a integral
I = integral0^1 raiz1 - x^2,dx
usando a regra do trapézio. Isso é conteúdo de Integração Numérica: a ideia é substituir a curva por trapézios e somar a área deles. Para isso, vamos precisar:
  1. dividir o intervalo em subintervalos;
  2. calcular o tamanho de cada subintervalo ;
  3. avaliar a função nos nós;
  4. aplicar a fórmula da regra do trapézio.

Passo 2

Explicando a regra do trapézio (sem pular etapa):
  • A gente escolhe um número Tn = hl(tfracf(x0) + f(xn)2 + sumi=1^n-1 f(xi)r), de subintervalos.
  • Define , onde aqui e .
  • Os nós são para .
  • A fórmula da aproximação é
onde .

Passo 3

Para deixar o exemplo bem didático, vamos escolher .
  • Então .
  • Os nós são
    ,
    ,
    ,
    ,
    .

Passo 4

Agora, avalia:
f(x0) &= raiz1 - 0^2 = 1, f(x1) &= raiz1 - (0,25)^2 = raiz0,9375approx 0,9682, f(x2) &= raiz1 - (0,50)^2 = raiz0,75approx 0,8660, f(x3) &= raiz1 - (0,75)^2 = raiz0,4375approx 0,6614, f(x4) &= raiz1 - 1^2 = 0

Passo 5

Basta inserir na fórmula do trapézio:
T4 = 0,25l(tfrac1 + 02 + (0,9682 + 0,8660 + 0,6614)r) = 0,25l(0,5 + 2,4956r) = 0,25 times 2,9956 approx 0,7489

Resposta

boxedI approx 0,7489(usando a regra do trapézio com n=4) é

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