Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?
x
0
1
4
5
8
y
2
4
7
9
14
(a) y=1,5 x+2
(b) y=1,8 x+1,2
(c) y=1,6 x+2
(d) y=2 x+1
(e) Não sei
Passo 1
Temos os pontos (da tabela): (0,2), (1,4), (4,7), (5,9), (8,14).
A pergunta é: qual reta, entre as alternativas, melhor ajusta esses pontos?
Passo 2
Vou usar o método dos mínimos quadrados (least squares), que é o procedimento padrão para encontrar a reta que “melhor” ajusta pontos no sentido de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos. Aqui vai a ideia e as fórmulas que vamos usar:
Se a reta for y = mx + b, o resíduo para um ponto (x_i,y_i) é e_i = y_i - (m x_i + b). A soma dos quadrados dos resíduos é \sum e_i^2. O método dos mínimos quadrados escolhe m e b que minimizam \sum e_i^2.
As fórmulas fechadas (fáceis de aplicar com somas) são:
A reta de regressão (método dos mínimos quadrados) é aproximadamente
y \approx 1,4417\,x + 2,0097.
Observação: essa reta não aparece exatamente entre as alternativas. Então para escolher a alternativa devemos comparar as linhas dadas e ver qual delas ajusta melhor os pontos. Uma forma prática e rigorosa é calcular a soma dos quadrados dos resíduos (SSE) para cada alternativa e escolher a menor SSE.
Passo 7
Calculo da SSE (soma dos quadrados dos resíduos) para cada alternativa. Para cada reta calculo y_{\text{pred}} em cada x, o resíduo e=y-y_{\text{pred}} e e^2. Vou resumir os resultados:
A menor SSE é a da alternativa (a). Note que a reta de mínimos quadrados real tinha SSE aproximadamente 1,16 (menor ainda), mas entre as alternativas dadas a (a) é a que chega mais perto.
Passo 8
Conclusão: entre as alternativas apresentadas, a reta que melhor ajusta os pontos é a alternativa (a), pois é a que produz a menor soma dos quadrados dos resíduos.