Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?
x 0 1 4 5 8
y 2 4 7 9 14
(a) y=1,5 x+2
(b) y=1,8 x+1,2
(c) y=1,6 x+2
(d) y=2 x+1
(e) Não sei

Passo 1

Temos os pontos (da tabela): (0,2), (1,4), (4,7), (5,9), (8,14).
A pergunta é: qual reta, entre as alternativas, melhor ajusta esses pontos?

Passo 2

Vou usar o método dos mínimos quadrados (least squares), que é o procedimento padrão para encontrar a reta que “melhor” ajusta pontos no sentido de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos. Aqui vai a ideia e as fórmulas que vamos usar:
  • Se a reta for y = mx + b, o resíduo para um ponto (x_i,y_i) é e_i = y_i - (m x_i + b). A soma dos quadrados dos resíduos é \sum e_i^2. O método dos mínimos quadrados escolhe m e b que minimizam \sum e_i^2.
  • As fórmulas fechadas (fáceis de aplicar com somas) são:
m = \frac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}
e
b = \overline{y} - m\overline{x},
onde n é o número de pontos, \overline{x} = \dfrac{\sum x_i}{n} e \overline{y} = \dfrac{\sum y_i}{n}.
Vou calcular essas somas passo a passo.

Passo 3

Calculo das somas necessárias (mostrando as contas):
n = 5
\sum x_i = 0 + 1 + 4 + 5 + 8 = 18
\sum y_i = 2 + 4 + 7 + 9 + 14 = 36
\sum x_i^2 = 0^2 + 1^2 + 4^2 + 5^2 + 8^2 = 0 + 1 + 16 + 25 + 64 = 106
\sum x_i y_i = 0\cdot2 + 1\cdot4 + 4\cdot7 + 5\cdot9 + 8\cdot14 = 0 + 4 + 28 + 45 + 112 = 189

Passo 4

Agora calculo a inclinação m usando a fórmula:
m = \frac{5\cdot 189 - 18\cdot 36}{5\cdot 106 - 18^2} = \frac{945 - 648}{530 - 324} = \frac{297}{206}.
Transformando em decimal:
m \approx \frac{297}{206} \approx 1,4417.

Passo 5

Cálculo das médias para obter b:
\overline{x} = \frac{18}{5} = 3,6,\qquad \overline{y} = \frac{36}{5} = 7,2.
b = \overline{y} - m\overline{x} \approx 7,2 - 1,4417\cdot 3,6 \approx 7,2 - 5,1903 \approx 2,0097.

Passo 6

A reta de regressão (método dos mínimos quadrados) é aproximadamente
y \approx 1,4417\,x + 2,0097.
Observação: essa reta não aparece exatamente entre as alternativas. Então para escolher a alternativa devemos comparar as linhas dadas e ver qual delas ajusta melhor os pontos. Uma forma prática e rigorosa é calcular a soma dos quadrados dos resíduos (SSE) para cada alternativa e escolher a menor SSE.

Passo 7

Calculo da SSE (soma dos quadrados dos resíduos) para cada alternativa. Para cada reta calculo y_{\text{pred}} em cada x, o resíduo e=y-y_{\text{pred}} e e^2. Vou resumir os resultados:
Alternativa (a) y = 1,5x + 2
  • x=0:\\ y_{\text{pred}}=2,\\ e=0,\\ e^2=0
  • x=1:\\ y_{\text{pred}}=3,5,\\ e=4-3,5=0,5,\\ e^2=0,25
  • x=4:\\ y_{\text{pred}}=8,\\ e=7-8=-1,\\ e^2=1
  • x=5:\\ y_{\text{pred}}=9,5,\\ e=9-9,5=-0,5,\\ e^2=0,25
  • x=8:\\ y_{\text{pred}}=14,\\ e=0,\\ e^2=0
    SSE(a) =0 + 0,25 + 1 + 0,25 + 0 = 1,5.
Alternativa (b) y = 1,8x + 1,2
  • x=0:\\ y_{\text{pred}}=1,2,\\ e=0,8,\\ e^2=0,64
  • x=1:\\ y_{\text{pred}}=3,0,\\ e=1,\\ e^2=1
  • x=4:\\ y_{\text{pred}}=8,4,\\ e=7-8,4=-1,4,\\ e^2=1,96
  • x=5:\\ y_{\text{pred}}=10,2,\\ e=9-10,2=-1,2,\\ e^2=1,44
  • x=8:\\ y_{\text{pred}}=15,6,\\ e=14-15,6=-1,6,\\ e^2=2,56
    SSE(b) =0,64 + 1 + 1,96 + 1,44 + 2,56 = 7,6.
Alternativa (c) y = 1,6x + 2
  • x=0:\\ y_{\text{pred}}=2,\\ e=0,\\ e^2=0
  • x=1:\\ y_{\text{pred}}=3,6,\\ e=0,4,\\ e^2=0,16
  • x=4:\\ y_{\text{pred}}=8,4,\\ e=7-8,4=-1,4,\\ e^2=1,96
  • x=5:\\ y_{\text{pred}}=10,\\ e=9-10=-1,\\ e^2=1
  • x=8:\\ y_{\text{pred}}=14,8,\\ e=14-14,8=-0,8,\\ e^2=0,64
    SSE(c) =0 + 0,16 + 1,96 + 1 + 0,64 = 3,76.
Alternativa (d) y = 2x + 1
  • x=0:\\ y_{\text{pred}}=1,\\ e=1,\\ e^2=1
  • x=1:\\ y_{\text{pred}}=3,\\ e=1,\\ e^2=1
  • x=4:\\ y_{\text{pred}}=9,\\ e=7-9=-2,\\ e^2=4
  • x=5:\\ y_{\text{pred}}=11,\\ e=9-11=-2,\\ e^2=4
  • x=8:\\ y_{\text{pred}}=17,\\ e=14-17=-3,\\ e^2=9
    SSE(d) =1 + 1 + 4 + 4 + 9 = 19.
Comparando SSEs:
  • SSE(a) = 1,5
  • SSE(b) = 7,6
  • SSE(c) = 3,76
  • SSE(d) = 19
A menor SSE é a da alternativa (a). Note que a reta de mínimos quadrados real tinha SSE aproximadamente 1,16 (menor ainda), mas entre as alternativas dadas a (a) é a que chega mais perto.

Passo 8

Conclusão: entre as alternativas apresentadas, a reta que melhor ajusta os pontos é a alternativa (a), pois é a que produz a menor soma dos quadrados dos resíduos.

Resposta

(a) y=1,5x+2

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