1{ }^{\text {a }} questão: Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?
x 1 3 5 6 9
y 4 7 11 13 19
(a) y=2 x+3
(b) y=1,9 x+2
(c) y=2,2 x+1,5
(d) \mathrm{y}=1,8 \mathrm{x}+3
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?” e nos dá os pontos:
(1,4),\\ (3,7),\\ (5,11),\\ (6,13),\\ (9,19).
As alternativas são:
\text{(a) } y=2x+3, \qquad \text{(b) } y=1,9x+2, \qquad \text{\text{(c)} } y=2,2x+1,5, \qquad \text{(d) } y=1,8x+3.
O que precisamos entregar é a alternativa cuja reta ajusta melhor os cinco pontos dados.

Passo 2

Vamos usar a definição de “melhor ajuste” como aquela reta que minimiza a soma dos quadrados dos erros (resíduos) verticalmente — isto é, a reta que minimiza
\sum_{i=1}^{n} (y_i - (m x_i + b))^2.
As fórmulas prontas (resultado dessa minimização) para os coeficientes da reta y=m x + b são:
m=\frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \qquad b=\bar y - m\bar x,
onde
\bar x=\frac{1}{n}\sum x_i,\qquad \bar y=\frac{1}{n}\sum y_i.
Explicando em linguagem simples:
  • n é o número de pontos;
  • \sum x_i é a soma das abscissas, \sum y_i a soma das ordenadas;
  • \sum x_i^2 é a soma dos quadrados das abscissas;
  • \sum x_i y_i é a soma dos produtos correspondentes;
  • m é a inclinação (quanto y cresce por unidade de x);
  • b é o intercepto (valor de y quando x=0).
    Essas fórmulas vêm de derivar a soma dos quadrados dos resíduos em relação a m e b e igualar a zero (condições normais). Não precisamos refazer essa derivação inteira aqui; o importante é entender o que cada símbolo significa e como aplicar as fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calculemos as somas necessárias a partir dos pontos fornecidos.
Número de pontos:
n=5.
Somatório das x:
\sum x_i = 1+3+5+6+9 = 24.
Somatório das y:
\sum y_i = 4+7+11+13+19 = 54.
Somatório dos quadrados de x:
\sum x_i^2 = 1^2+3^2+5^2+6^2+9^2 = 1+9+25+36+81 = 152.
Somatório dos produtos x_i y_i:
\sum x_i y_i = 1\cdot4 + 3\cdot7 + 5\cdot11 + 6\cdot13 + 9\cdot19 = 4+21+55+78+171 = 329.
Médias:
\bar x=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{24}{5}=4,8, \qquad \bar y=\frac{\sum y_i}{n}=\frac{54}{5}=10,8.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula para m. Primeiro o numerador e o denominador:
Numerador:
n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i) = 5\cdot329 - 24\cdot54 = 1645 - 1296 = 349.
Denominador:
n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2 = 5\cdot152 - 24^2 = 760 - 576 = 184.
Portanto a inclinação é
m=\frac{349}{184}\approx 1,895652\ldots
Arredondando para três casas decimais: m\approx 1,896. Para comparar com as alternativas, note que isto é muito próximo de 1,9.

Passo 5

Calculamos agora o intercepto b usando b=\bar y - m\bar x.
b = 10,8 - \frac{349}{184}\cdot 4,8.
Calculando:
\frac{349}{184}\cdot 4,8 \approx 1,895652\ldots \times 4,8 \approx 9,099130\ldots
Logo
b \approx 10,8 - 9,099130\ldots = 1,700869\ldots \approx 1,701.
Portanto a reta de ajuste por mínimos quadrados é aproximadamente
y \approx 1,89565\,x + 1,70087,
ou, em forma arredondada, y\approx 1,896x + 1,701. Entre as alternativas dadas, a inclinação e o intercepto mais próximos são os da alternativa (b) y=1,9x+2 (slope 1,9 e intercept 2) e também a (c) tem intercept próximo, mas slope mais distante. Para decidir de forma objetiva, vamos comparar a soma dos quadrados dos resíduos (RSS) de cada alternativa — a menor RSS indica o ajuste melhor entre as opções apresentadas.

Passo 6

Calculamos a soma dos quadrados dos resíduos (RSS) para cada alternativa. Para cada ponto (x_i,y_i) e reta candidata y=\hat m x+\hat b, o resíduo é e_i = y_i - (\hat m x_i + \hat b) e o RSS é \sum e_i^2.
Alternativa (a) y=2x+3:
Predições e resíduos:
\begin{aligned} x=1:&\\ \hat y=5,\\ e=-1,\\ e^2=1\\\ x=3:&\\ \hat y=9,\\ e=-2,\\ e^2=4\\\ x=5:&\\ \hat y=13,\\ e=-2,\\ e^2=4\\\ x=6:&\\ \hat y=15,\\ e=-2,\\ e^2=4\\\ x=9:&\\ \hat y=21,\\ e=-2,\\ e^2=4 \end{aligned}
\text{RSS}_{(a)}=1+4+4+4+4=17.
Alternativa (b) y=1,9x+2:
Predições e resíduos (calculando com 1,9 interpretado como decimal):
\begin{aligned} x=1:&\\ \hat y=1,9\cdot1+2=3,9,\\ e=4-3,9=0,1,\\ e^2=0,01\\\ x=3:&\\ \hat y=1,9\cdot3+2=7,7,\\ e=7-7,7=-0,7,\\ e^2=0,49\\\ x=5:&\\ \hat y=1,9\cdot5+2=11,5,\\ e=11-11,5=-0,5,\\ e^2=0,25\\\ x=6:&\\ \hat y=1,9\cdot6+2=13,4,\\ e=13-13,4=-0,4,\\ e^2=0,16\\\ x=9:&\\ \hat y=1,9\cdot9+2=19,1,\\ e=19-19,1=-0,1,\\ e^2=0,01 \end{aligned}
\text{RSS}_{(b)}=0,01+0,49+0,25+0,16+0,01=0,92.
Alternativa (c) y=2,2x+1,5:
\begin{aligned} x=1:&\\ \hat y=3,7,\\ e=0,3,\\ e^2=0,09\\\ x=3:&\\ \hat y=8,1,\\ e=-1,1,\\ e^2=1,21\\\ x=5:&\\ \hat y=12,5,\\ e=-1,5,\\ e^2=2,25\\\ x=6:&\\ \hat y=14,7,\\ e=-1,7,\\ e^2=2,89\\\ x=9:&\\ \hat y=21,3,\\ e=-2,3,\\ e^2=5,29 \end{aligned}
\text{RSS}_{\text{(c)}}=0,09+1,21+2,25+2,89+5,29=11,73.
Alternativa (d) y=1,8x+3:
\begin{aligned} x=1:&\\ \hat y=4,8,\\ e=-0,8,\\ e^2=0,64\\\ x=3:&\\ \hat y=8,4,\\ e=-1,4,\\ e^2=1,96\\\ x=5:&\\ \hat y=12,\\ e=-1,\\ e^2=1\\\ x=6:&\\ \hat y=13,8,\\ e=-0,8,\\ e^2=0,64\\\ x=9:&\\ \hat y=19,2,\\ e=-0,2,\\ e^2=0,04 \end{aligned}
\text{RSS}_{(d)}=0,64+1,96+1+0,64+0,04=4,28.
Comparando as RSS:
\text{RSS}_{(a)}=17,\quad \text{RSS}_{(b)}=0,92,\quad \text{RSS}_{\text{(c)}}=11,73,\quad \text{RSS}_{(d)}=4,28.
A menor soma dos quadrados dos resíduos é a da alternativa (b), portanto entre as opções dadas a reta que melhor ajusta os pontos é a alternativa (b).

Resposta

(b) y=1,9x+2

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