questão: Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?
1
3
5
6
9
4
7
11
13
19
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não sei
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1 | 3 | 5 | 6 | 9 |
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4 | 7 | 11 | 13 | 19 |
(b)
(c)
(d)
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?” e nos dá os pontos:
As alternativas são:
O que precisamos entregar é a alternativa cuja reta ajusta melhor os cinco pontos dados.
Passo 2
Vamos usar a definição de “melhor ajuste” como aquela reta que minimiza a soma dos quadrados dos erros (resíduos) verticalmente — isto é, a reta que minimiza
As fórmulas prontas (resultado dessa minimização) para os coeficientes da reta
são:
onde
Explicando em linguagem simples:
-
é o número de pontos; -
é a soma das abscissas, a soma das ordenadas; -
é a soma dos quadrados das abscissas; -
é a soma dos produtos correspondentes; -
é a inclinação (quanto cresce por unidade de ); -
é o intercepto (valor de quando ).
Essas fórmulas vêm de derivar a soma dos quadrados dos resíduos em relação ae e igualar a zero (condições normais). Não precisamos refazer essa derivação inteira aqui; o importante é entender o que cada símbolo significa e como aplicar as fórmulas passo a passo.
Passo 3
Calculemos as somas necessárias a partir dos pontos fornecidos.
Número de pontos:
Somatório das
:
Somatório das
:
Somatório dos quadrados de
:
Somatório dos produtos
:
Médias:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula para
. Primeiro o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Portanto a inclinação é
Arredondando para três casas decimais:
. Para comparar com as alternativas, note que isto é muito próximo de
.
Passo 5
Calculamos agora o intercepto
usando
.
Calculando:
Logo
Portanto a reta de ajuste por mínimos quadrados é aproximadamente
ou, em forma arredondada,
. Entre as alternativas dadas, a inclinação e o intercepto mais próximos são os da alternativa (b)
(slope 1,9 e intercept 2) e também a (c) tem intercept próximo, mas slope mais distante. Para decidir de forma objetiva, vamos comparar a soma dos quadrados dos resíduos (RSS) de cada alternativa — a menor RSS indica o ajuste melhor entre as opções apresentadas.
Passo 6
Calculamos a soma dos quadrados dos resíduos (RSS) para cada alternativa. Para cada ponto
e reta candidata
, o resíduo é
e o RSS é
.
Alternativa (a)
:
Predições e resíduos:
Predições e resíduos:
Alternativa (b)
:
Predições e resíduos (calculando com interpretado como decimal):
Predições e resíduos (calculando com
Alternativa (c)
:
Alternativa (d)
:
Comparando as RSS:
A menor soma dos quadrados dos resíduos é a da alternativa (b), portanto entre as opções dadas a reta que melhor ajusta os pontos é a alternativa (b).
Resposta
(b)