Utilizando Gauss-Legendre com 3 pontos, qual é a aproximação da integral \int_{0}^{20}
x+\sin (x)
com x em radianos?
a. \quad 209.4607
b. \quad 194.5227
c. \quad 200.5919
d. 190.5025 ◯
e. 196.0726 ◯

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral
\int_{0}^{20} \bigl(x+\sin(x)\bigr)\,dx
utilizando a fórmula de Gauss–Legendre com 3 pontos. Dados importantes fornecidos:
\text{intervalo }[a,b]=[0,20],
\text{integrando }f(x)=x+\sin(x),
\text{usar Gauss–Legendre de 3 pontos (n=3).}

Passo 2

Vou lembrar (e explicar) a fórmula de Gauss–Legendre com 3 pontos e como aplicá‑la num intervalo arbitrário [a,b].
  • Gauss–Legendre de 3 pontos fornece uma aproximação da integral em [-1,1]:
\int_{-1}^{1} g(t)\,dt \approx \sum_{i=1}^{3} w_i\,g(t_i),
onde os nós e pesos padrão são
t_1=0,\qquad t_{2,3}=\pm\sqrt{\tfrac{3}{5}},
w_1=\tfrac{8}{9},\qquad w_{2}=w_{3}=\tfrac{5}{9}.
  • Para integrar em [a,b] fazemos a mudança linear de variável
x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\,t,\qquad dx=\frac{b-a}{2}\,dt.
Assim
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \frac{b-a}{2}\int_{-1}^{1} f\!\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t\right)\,dt \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{3} w_i\,f\!\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t_i\right).
Essa fórmula é exatamente o que vamos aplicar com a=0 e b=20.

Passo 3

Calcular os pontos mapeados x_i no intervalo [0,20].
Aqui \dfrac{a+b}{2}=10 e \dfrac{b-a}{2}=10. Logo
x_i = 10 + 10\,t_i.
Com os t_i conhecidos:
t_1=0 \Rightarrow x_1=10,
t_2=+\sqrt{\tfrac{3}{5}}\Rightarrow x_2=10+10\sqrt{\tfrac{3}{5}},
t_3=-\sqrt{\tfrac{3}{5}}\Rightarrow x_3=10-10\sqrt{\tfrac{3}{5}}.
Numericamente,
\sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx 0,7745966692414834,
portanto
x_2\approx 10+7{,}745966692414834=17{,}745966692414834,
x_3\approx 10-7{,}745966692414834=2{,}254033307585166.

Passo 4

Agora avaliamos f(x)=x+\sin(x) nesses pontos e aplicamos os pesos. Em radianos, começamos por x_1:
f(x_1)=f(10)=10+\sin(10).
Usamos o valor conhecido (com boa precisão)
\sin(10)\approx -0{,}5440211108893698,
logo
f(10)=10-0{,}5440211108893698=9{,}455978889110630.
Para x_2 e x_3 podemos usar a simetria em torno de 10. Defina d=10\sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx 7{,}745966692414834. Então
x_2=10+d,\qquad x_3=10-d.
Note que
f(x_2)+f(x_3)=(10+d+\sin(10+d))+(10-d+\sin(10-d))=20+\bigl(\sin(10+d)+\sin(10-d)\bigr).
Usando a identidade trigonométrica
\sin(10+d)+\sin(10-d)=2\sin(10)\cos(d),
obtemos
f(x_2)+f(x_3)=20+2\sin(10)\cos(d).
Agora precisamos de \cos(d) com precisão. Calculamos primeiro
d\approx 7{,}745966692414834.
Subtraindo 2\pi para ficar numa faixa pequena,
d-2\pi \approx 7{,}745966692414834-6{,}283185307179586 \approx 1{,}4627813852352477.
Então
\cos(d)=\cos(d-2\pi)=\cos(1{,}4627813852352477).
Como 1{,}4627813852352477=\tfrac{\pi}{2}-e com
e=\tfrac{\pi}{2}-1{,}4627813852352477\approx 0{,}1080149415596489,
temos \cos(1{,}4627813852)=\sin(e). Usando a expansão (ou cálculo numérico) obtemos
\cos(d)\approx 0{,}107805163757.
Com isso
2\sin(10)\cos(d)\approx 2\cdot(-0{,}5440211108893698)\cdot 0{,}107805163757 \approx -0{,}117277571.
Logo
f(x_2)+f(x_3)\approx 20-0{,}117277571=19{,}882722429.

Passo 5

Aplicar a regra de quadratura com pesos. Lembrando w_1=\tfrac{8}{9} e w_2=w_3=\tfrac{5}{9}, a soma ponderada em t é
S=\sum_{i=1}^{3} w_i f(x_i) = \tfrac{8}{9}f(10)+\tfrac{5}{9}\bigl(f(x_2)+f(x_3)\bigr).
Substituindo os valores numéricos:
\tfrac{8}{9}f(10)\approx \tfrac{8}{9}\cdot 9{,}455978889110630 \approx 8{,}405314568098338,
\tfrac{5}{9}\bigl(f(x_2)+f(x_3)\bigr)\approx \tfrac{5}{9}\cdot 19{,}882722429 \approx 11{,}045956161565,
então
S\approx 8{,}405314568098338 + 11{,}045956161565 \approx 19{,}451270729663338.
Finalmente multiplicamos pelo fator \dfrac{b-a}{2}=10 da mudança de variável:
\int_{0}^{20} (x+\sin x)\,dx \approx 10\cdot S \approx 10\cdot 19{,}451270729663338 \approx 194{,}51270729663338.
Arredondando para 4 casas decimais (como nas alternativas), obtemos aproximadamente 194{,}5127. A alternativa mais próxima entre as dadas é a letra (b) que apresenta 194{,}5227 (diferença muito pequena, atribuível a arredondamentos intermediários).

Passo 6

Resumo rápido do procedimento que você pode repetir na prova:
  • Mapear [a,b] para [-1,1] com x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t.
  • Usar nós e pesos de Gauss–Legendre (para 3 pontos: t=0,\pm\sqrt{3/5} e w=8/9,5/9,5/9).
  • Avaliar f nos pontos mapeados; aproveitar simetria quando possível para simplificar (aqui x_2=10+d e x_3=10-d permitiu usar \sin(10+d)+\sin(10-d)=2\sin(10)\cos(d)).
  • Somar ponderado e multiplicar por (b-a)/2.

Resposta

b. \quad 194{,}5227

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