Utilizando Gauss-Legendre com 3 pontos, qual é a aproximação da integral
com
em radianos?
a.
◯
b.
◯
c.
◯
d. 190.5025 ◯
e. 196.0726 ◯
a.
b.
c.
d. 190.5025 ◯
e. 196.0726 ◯
Passo 1
O enunciado pede a aproximação da integral
utilizando a fórmula de Gauss–Legendre com 3 pontos. Dados importantes fornecidos:
Passo 2
Vou lembrar (e explicar) a fórmula de Gauss–Legendre com 3 pontos e como aplicá‑la num intervalo arbitrário
.
- Gauss–Legendre de 3 pontos fornece uma aproximação da integral em
:
onde os nós e pesos padrão são
- Para integrar em
fazemos a mudança linear de variável
Assim
Essa fórmula é exatamente o que vamos aplicar com
e
.
Passo 3
Calcular os pontos mapeados
no intervalo
.
Aqui
e
. Logo
Com os
conhecidos:
Numericamente,
portanto
Passo 4
Agora avaliamos
nesses pontos e aplicamos os pesos. Em radianos, começamos por
:
Usamos o valor conhecido (com boa precisão)
logo
Para
e
podemos usar a simetria em torno de
. Defina
. Então
Note que
Usando a identidade trigonométrica
obtemos
Agora precisamos de
com precisão. Calculamos primeiro
Subtraindo
para ficar numa faixa pequena,
Então
Como
com
temos
. Usando a expansão (ou cálculo numérico) obtemos
Com isso
Logo
Passo 5
Aplicar a regra de quadratura com pesos. Lembrando
e
, a soma ponderada em
é
Substituindo os valores numéricos:
então
Finalmente multiplicamos pelo fator
da mudança de variável:
Arredondando para 4 casas decimais (como nas alternativas), obtemos aproximadamente
. A alternativa mais próxima entre as dadas é a letra (b) que apresenta
(diferença muito pequena, atribuível a arredondamentos intermediários).
Passo 6
Resumo rápido do procedimento que você pode repetir na prova:
- Mapear
para com . - Usar nós e pesos de Gauss–Legendre (para 3 pontos:
e ). - Avaliar
nos pontos mapeados; aproveitar simetria quando possível para simplificar (aqui e permitiu usar ). - Somar ponderado e multiplicar por
.
Resposta
b.