são equivalentes. Deseja-se aproximar a solução pelo método de Gauss-Seidel. Escolha, justificando, qual deles é mais adequado. Para o sistema escolhido, calcule uma iteração partindo de (0,0,0) e número mínimo de iterações para se garantir um erro menor do que 0,0001 considerando que a solução exata está contida em [-1,1] times[-1,1] times[-1,1].
Passo 1
Beleza! A gente tem dois sistemas lineares equivalentes e precisa aproximar a solução usando o método de Gauss–Seidel.
Matéria: métodos iterativos para resolver sistemas .
O que vai rolar:
Comparar os dois sistemas e ver qual é “mais amigável” (i.e. convergência garantida por diagonal dominante).
Para o escolhido, montar as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel.
Fazer uma iteração a partir de .
Usar um critério de erro (norma infinito + fato de que a solução está em ) para achar quantas iterações no mínimo pra garantir erro .
Passo 2
Primeiro, teste de convergência: matriz diagonalmente dominante por linha (suficiente para Gauss–Seidel).
Também dá dominância fraca em duas linhas, mas o primeiro é “mais redondinho” (você escreve as equações na ordem usual ).
Conclusão: escolhemos o Sistema 1 – bem mais prático de iterar sem ficar trocando ordem de variáveis.
Passo 3
Agora derivamos as fórmulas de Gauss–Seidel, que usam já as componentes “novas” conforme a gente vai progredindo:
Das equações
5x-3y-1z=1, -1x+3y-2z=0, 0x-1y+4z=2,
isolamos cada variável:
x&=1+3y+z5, y&=,x+2z,3, z&=2+y4
Passo 4
Iteração 1 a partir de x^(1)&=1+3cdot0+05=0.2, y^(1)&=,0.2+2cdot0,3approx0.0666667, z^(1)&=2+0.06666674approx0.5166667 :
(x,y,z)approx(0.2,;0.0667,;0.5167)
Então após uma iteração a solução aproximada é
Passo 5
Queremos c=maxisumj>i|aij||aii|<1 . Como a matriz é diagonalmente dominante, o método converge e, na prática, a taxa de convergência (contração) em norma ∞ satisfaz algo como
|x^(k)-x|infty<= c^k;|x^(0)-x|infty e sabemos |x^(0)-x|infty<=1
Para a linha 1 dá 0.8^k<10^-4 Longrightarrow klog(0.8)ln(10^-4)ln(0.8)approx41.3 , e esse é o valor que vai “mandar” na contração.
Usamos então o teste grosseiro
(solução em implica erro inicial ).
Portanto queremos
Logo são necessárias pelo menos 42 iterações.
Resposta
Escolhendo o sistema 5&-3&-1-1&3&-20&-1&4,
a primeira iteração a partir de (x,y,z)^(1)=(0.2,;0.0667,;0.5167), é
e para garantir erro no máximo-norma são necessárias 42 iterações.