[rrrr 1.0 & 2.0 & 1.0 & 3.0 1.5 & 1.5 & -1.0 & 1.0 3.0 & -1.0 & 1.0 & 2.0 1.0 & 1.0 & -1.0 & -1.0 ] cdot[l x1 x2 x3 x4 ]=[r 8.0 1.0 1.0 -3.0 ]
pelo método de eliminação de Gauss com condensação pivotal e aritmética de ponto flutuante com 2 algarismos significativos obtivemos a matriz triangularizada a seguir (com os multiplicadores em suas respectivas posições):
[lrcr 3.0 & -1.0 & 1.0 & 2.0 hline 0.33 & 2.3 & 0.67 & 2.3 0.5 & 0.87 & -2.1 & -2.0 0.33 & 0.57 & 0.81 & -1.4 ]
o vetor de permutações p1=3, p2=3 e p3=3 (ou seja, no primeiro e segundo passo trocou-se a linha 3 com a linha pivot e no terceiro passo não houve troca). Obteve-se a solução x=(-0.93,1.1,1.1,1.9). Calcule um passo de refinamento desta solução (lembre-se de dobrar a precisão para o cálculo do resíduo).

Passo 1

Beleza, o que temos é um sistema linear
A,x = b
em que já tínhamos achado uma solução aproximada
x^(0) = (-0.93,;1.10,;1.10,;1.90),
obtida por eliminação de Gauss com pivoteamento e aritmética de 2 algarismos significativos.
Agora vamos fazer um passo de refinamento:
  1. Calcular o resíduo

    em “dupla precisão” (isto é, com 4 algarismos significativos).
  2. Resolver usando o mesmo LU fatorado (forward + back substitution).
  3. Atualizar

Passo 2

Calcular o resíduo r1 &= 8.0 ;-;(1.0cdot(-0.93)+2.0cdot1.10+1.0cdot1.10+3.0cdot1.90) = 8.0 - 8.070 = -0.07000, r2 &= 1.0 ;-;(1.5cdot(-0.93)+1.5cdot1.10-1.0cdot1.10+1.0cdot1.90) = 1.0 - 1.055 = -0.05500, r3 &= 1.0 ;-;(3.0cdot(-0.93)-1.0cdot1.10+1.0cdot1.10+2.0cdot1.90) = 1.0 - 1.010 = -0.01000, r4 &= -3.0 - (1.0cdot(-0.93)+1.0cdot1.10-1.0cdot1.10-1.0cdot1.90) = -3.0 -(-2.830) = -0.1700 com 4 algarismos significativos:
r = l[-0.07000,;-0.05500,;-0.01000,;-0.1700r]^T
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Passo 3

Resolvendo y1 &= r1 = -0.07000, y2 &= r2 - L21,y1 = -0.05500 - 0.33cdot(-0.07000) = -0.03190, y3 &= r3 - L31,y1 - L32,y2 = -0.01000 -0.50cdot(-0.07000)-0.87cdot(-0.03190) = 0.05275, y4 &= r4 - L41,y1 - L42,y2 - L43,y3 &= -0.1700 -0.33cdot(-0.07000)-0.57cdot(-0.03190)-0.81cdot0.05275 = -0.1715 por substituição direta.
A matriz tem uns na diagonal e multiplicadores

Passo 4

Resolvendo U= 3.0 & -1.0 & 1.0 & 2.0 0 & 2.3 & 0.67& 2.3 0 & 0 & -2.1& -2.0 0 & 0 & 0 & -1.4 por substituição regressiva.
A matriz de (2 algarismos significativos nas entradas) é

Passo 5

Atualizando
x^(1) = x^(0) + de

Resposta

Após um passo de refinamento, a solução melhora para
x^(1) approx l(-1.0194,;1.0049,;0.9582,;2.0225r)

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