A=(rrr 2 & 1 & 6 4 & -2 & 1 1 & -5 & -2 )
Utilizando ponto flutuante com 2 algarismos significativos,
(a) Resolva o sistema dado pelo método de Gauss com condensação pivotal.
(b) Calcule a primeira coluna da matriz inversa de A.

Passo 1

Beleza, a questão dá a matriz
A= 2 & 1 & 6 4 & -2 & 1 1 & -5 & -2
pede pra usar ponto flutuante com 2 algarismos significativos e fazer:
(a) resolver o sistema Ax=b pelo método de Gauss com condensação pivotal;
(b) achar a primeira coluna de A^-1.
Para extrair a primeira coluna da inversa a gente resolve exatamente Ax=e1, onde e1=(1,0,0)^T.

Passo 2

Montamos a aumentada com b=e1:
[ccc|c 2 & 1 & 6 & 1 4 & -2 & 1 & 0 1 & -5 & -2 & 0 ]
Na coluna 1 o maior pivô (em valor absoluto) é 4 (linha 2), então trocamos linha 1↔2:
[ccc|c 4 & -2 & 1 & 0 2 & 1 & 6 & 1 1 & -5 & -2 & 0 ]

Passo 3

Eliminamos abaixo de 4 na coluna 1:
  • l21=2/4=0.50, l31=1/4=0.25.
  • Linha 2 ← L2 − 0.50·L1:
    a₍₂₂₎=1−0.50·(−2)=2,
    a₍₂₃₎=6−0.50·1=5.5,
    b₂=1−0.50·0=1.
  • Linha 3 ← L3 − 0.25·L1:
    a₍₃₂₎=−5−0.25·(−2)=−4.5,
    a₍₃₃₎=−2−0.25·1=−2.25→−2.3 (2 sig.),
    b₃=0−0=0.
    Fica:
[ccc|c 4 & -2 & 1 & 0 0 & 2 & 5.5 & 1 0 & -4.5& -2.3 & 0 ]

Passo 4

Coluna 2: maior pivô em |−4.5|>2 (linhas 2–3), trocamos L2↔L3:
[ccc|c 4 & -2 & 1 & 0 0 & -4.5 & -2.3 & 0 0 & 2 & 5.5 & 1 ]
  • l32=2/(-4.5)=−0.44.
  • Linha 3 ← L3 − (−0.44)·L2:
    a₍₃₃₎=5.5−(−0.44)(−2.3)≈5.5−1.0=4.5,
    b₃=1−(−0.44)·0=1.
    Fica triangular:
[ccc|c 4 & -2 & 1 & 0 0 & -4.5 & -2.3& 0 0 & 0 & 4.5 & 1 ]

Passo 5

Back-substitution (tudo em 2 alg. sig.):
  1. x3=1/4.5approx0.22.
  2. x2=(0−(−2.3)cdot0.22)/(−4.5)=(+0.51)/(−4.5)approx−0.11.
  3. x1=(0−(−2)(−0.11)−1cdot0.22)/4=(-0.22−0.22)/4=-0.44/4approx−0.11.
    Logo
xapprox-0.11-0.110.22

Resposta

(a) A solução de Ax=e1 por Gauss com condensação pivotal e ponto flutuante de 2 algarismos significativos é
xapprox-0.11-0.110.22
(b) Essa mesma solução é a primeira coluna de A^-1, ou seja
primeira coluna de A^-1approx-0.11-0.110.22

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