rr 2 x1+x2+6 x3= & 3 4 x1-2 x2+x3= & 2 x1-5 x2-2 x3= & -4
(a) Resolva o sistema dado pelo método de Gauss com condensação pivotal, utilizando ponto flutuante com 2 algarismos significativos.
(b) Efetue uma iteração de refinamento da solução.
© Verifique se o sistema linear dado satisfaz o Critério de Sassenfeld. Em caso negativo, troque a posição das equações no sistema, de forma que, para o sistema equivalente assim obtido, o Critério das Linhas assegure a convergência do Método de Gauss-Seidel.
(d) Sem efetuar as iterações, e partindo da aproximação inicial x1^(0)=0, x2^(0)=0, x3^(0)=0, bem como sabendo que |x1| <= 2,|x2| <= 2,|x3| <= 2, determine um número de iterações que assegure um erro inferior a varepsilon=0,01 em cada uma das variáveis, ao se aplicar o Método de Gauss-Seidel ao sistema para o qual tal método converge, conforme o item ©.
(e) Calcule duas iterações pelo Método de Gauss-Seidel a partir de (x1^(0), x2^(0), x3^(0))= (0,0,0).

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema de 3 equações lineares em 3 incógnitas:
2x1 + x2 + 6x3 = 3, 4x1 -2x2 + x3 = 2, x1 -5x2 -2x3 = -4
Conteúdo que vai rolar:
  • (a) Eliminação de Gauss com condensação (pivô parcial), fazendo ponto flutuante com 2 algarismos significativos em cada passo de arredondamento.
  • (b) Uma iteração de refinamento (iterative refinement): calcular resíduo, resolver para correção e atualizar solução.
  • © Critério de Sassenfeld para Gauss–Seidel, e, se não rolar, trocar a ordem das equações até satisfazer.
  • (d) Estimar k para que o erro em cada variável fique abaixo de ε=0,01 no Gauss–Seidel, sabendo |xᵢ|≤2 e chute inicial (0,0,0).
  • (e) Calcular as duas primeiras iterações de Gauss–Seidel a partir de (0,0,0) no sistema reordenado.
Agora vamos resolver, devagar e passo a passo, arredondando quando for necessário.

Passo 2

  1. Montamos a matriz aumentada e identificamos pivô parcial na coluna 1 (maior valor em módulo). É 4 (segunda equação), então trocamos linha 1↔linha 2:
  1. Eliminação na coluna 1:
    – Para zerar na nova linha 2, fator = 2/4=0,50.
    linha₂ ← linha₂ −0,50·linha₁
    → [0,,2,,5.5,,2] (arredondei 5.5 e 2)
    – Para zerar na linha 3, fator = 1/4=0,25.
    linha₃ ← linha₃ −0,25·linha₁
    → [0, −4.5, −2.3, −4.5] (arredondei)
Ficamos com
  1. Pivô parcial na coluna 2 (entre |2| e |−4.5|), troca linha 2↔3:
  1. Eliminação na coluna 2 da linha 3: fator = 2/(−4.5)=−0,44 (2 sig. fig.).
    linha₃ ← linha₃ −(−0,44)·linha₂ = linha₃ +0,44·linha₂
    → [0,,0,,4.5,,0.02] (arredondei).
Agora a matriz é triangular:
  1. Back‐substitution, sempre arredondando em 2 sig. fig.:
    4 & -2 & 1 &vline& 2 2 & 1 & 6 &vline& 3 1 & -5 & -2 &vline& -4
    – Na linha 2: 4 & -2 & 1 &vline& 2 0 & 2 & 5.5 &vline& 2 0 & -4.5 & -2.3 &vline& -4.5 4 & -2 & 1 &vline& 2 0 & -4.5 & -2.3 &vline& -4.5 0 & 2 & 5.5 &vline& 2 4 & -2 & 1 &vline& 2 0 & -4.5 & -2.3 &vline& -4.5 0 & 0 & 4.5 &vline& 0.02
    – Na linha 1: x^(0) = (,1.0,;1.0,;0.0044,)
Resposta do método de Gauss (2 sig. fig.):

Passo 3

  1. Calcular o resíduo r = 3 - (2cdot1 +1cdot1 +6cdot0.0044) 2 - (4cdot1 -2cdot1 +1cdot0.0044) -4 - (1cdot1 -5cdot1 -2cdot0.0044) approx -0.0264 -0.0044 0.0088 com precisão extra antes de arredondar em 2 sig. fig.:
d approx (0,;0,;-0.0044)
  1. Resolver (usando Gauss normalmente) e achamos
  1. Atualizar

Passo 4

Para o sistema original a gente calcula os betas na ordem natural e vê que β₁>1, então não converge. Testando permutação de equações, a ordem
4x1 -2x2 + x3 =2, x1 -5x2 -2x3 = -4, 2x1 + x2 +6x3 =3
beta1 = |-2|+|1|4=0.75, beta2 = |1|cdot0.75 +|-2|5=0.55, beta3 = |2|cdot0.75 +|1|cdot0.556=0.34,
todas <1. Logo essa ordem garante convergência do Gauss–Seidel.

Passo 5

  • A norma de convergência se controla por .
  • Com chute inicial , o erro inicial máximo é ≤2.
  • Queremos .
  • Tomando log: .
    Portanto iterações.

Passo 6

No sistema ordenado (equações 1,2,3 acima), as fórmulas iterativas são:
x1^(k+1) &= 2 +2,x2^(k) -x3^(k)4, x2^(k+1) &= -4 +x1^(k+1) -2,x3^(k)5, x3^(k+1) &= 3 -2,x1^(k+1) -x2^(k+1)6
Chute :
  • Iteração 1:


    .
  • Iteração 2:


Resposta

(a) Solução por Gauss (2 sig. fig.): .
(b) Após refinamento: .
© Reordenar as equações na ordem

para satisfazer Sassenfeld.
(d) São necessárias 19 iterações de Gauss–Seidel para erro <0,01.
(e) Primeiras duas iterações (no sistema reordenado):

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