A=(rrr 1.5 & 6.0 & 2.0 2.5 & 9.0 & 4.0 8.0 & -1.0 & -3.0 )
Ao aplicarmos eliminação de Gauss com condensação pivotal para este sistema, trabalhando com dois algarismos significativos, obtivemos como resultado
(lrr 8.0 & -1.0 & -3.0 hline 0.31 & 9.3 & 4.9 0.19 & 0.67 & -0.7 )
com p1=3 e p2=2. Efetue uma etapa de refinamento da solução, partindo de x^(0)= (2.0, -1.0, 2.0).

Passo 1

Beleza, então o que o enunciado diz é:
– Temos a matriz
A= 1.5 & 6.0 & 2.0 2.5 & 9.0 & 4.0 8.0 & -1.0 & -3.0
– Fizemos eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e aritmética de 2 algarismos significativos, obtendo implicitamente um U= 8.0 & -1.0 & -3.0 0 & 9.3 & 4.9 0 & 0 & -0.7 (com os multiplicadores x^(0)=(2.0,,-1.0,,2.0)^T e depois ) e a matriz triangular superior
– Temos uma aproximação inicial
e queremos fazer uma etapa de refinamento (iterative refinement).
O que vamos precisar:
  1. o vetor de termos independentes original;
  2. a definição de resíduo ;
  3. a fatoração que já temos (em aritmética de 2 dígitos);
  4. técnicas de substituição direta (forward e back substitution).

Passo 2

Calcular o resíduo
r ;=; b ;-; A,x^(0)
Na prática, você tem que pegar
r1 = b1 - (1.5cdot2.0 + 6.0cdot(-1.0) + 2.0cdot2.0),
r2 = b2 - (2.5cdot2.0 + 9.0cdot(-1.0) + 4.0cdot2.0),
r3 = b3 - (8.0cdot2.0 + (-1.0)cdot(-1.0) + (-3.0)cdot2.0)
Esse vetor é o quanto nossa solução inicial errou.

Passo 3

Fazer forward substitution em L = 1 & 0 & 0 0.31 & 1 & 0 0.19 & 0.67 & 1 , .
Como
d1 = r1,
as equações são
d2 = r2 - 0.31,d1,
d3 = r3 - 0.19,d1 - 0.67,d2

Passo 4

Fazer back substitution em U= 8.0 & -1.0 & -3.0 0 & 9.3 & 4.9 0 & 0 & -0.7 , .
A matriz y3 = d3-0.7, y2 = d2 - 4.9,y39.3, y1 = d1 +1.0,y2 +3.0,y38.0 é
então

Passo 5

Atualizar a solução:
x^(1) = x^(0) + y
Isto é, componente a componente
x^(1)i = x^(0)i + yi, i=1,2,3

Resposta

A etapa de refinamento dá
boxedx^(1) ;=; x^(0) ;+; U^-1L^-1l(b - A,x^(0)r),
cujo cálculo numérico segue exatamente os passos acima aplicando os valores de e truncando tudo a 2 algarismos significativos em cada operação.

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