Determine as regiões do plano (alpha, beta) in R^2 para as quais:
(a) O critério das linhas é satisfeito.
(b) O critério de Sassenfeld é satisfeito.
Represente graficamente as regiões obtidas.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão dá a matriz
A= 4 & alpha & 1 2beta & 5 & 4 beta & 2 & alpha
e pede duas coisas no plano (alpha,beta):
Para quais valores de (alpha,beta) ela é estritamente diagonalmente dominante por linhas (critério das linhas).
Para quais valores vale o critério de Sassenfeld (usado para convergência do Gauss–Seidel).
O que vamos usar:
Definição de dominância por linhas:|aii|>sumjneq i|aij|, i=1,2,3
- Definição de Sassenfeld: calcular
$$\beta_1=\frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|},\quad\beta_2=\frac{|a_{21}|+|a_{23}|\beta_1}{|a_{22}|},\quad\beta_3=\frac{|a_{31}|+|a_{32}|\beta_1}{|a_{33}|},$$
e exigir beta1=|a12|+|a13||a11|, beta2=|a21|+|a23|beta1|a22|, beta3=|a31|+|a32|beta1|a33|,.
A partir do próximo passo vamos resolver de fato, sem pular etapas.
Para o critério das linhas, imagine uma faixa vertical -3, um retângulo horizontal |beta|, e dentro dele só as duas “chapas” que estão acima da curva alpha=2+|beta| ou abaixo de alpha=-(2+|beta|).
Para Sassenfeld, desenhe as faixas horizontais e verticais 1<|α|<3 e, em cada valor de α, trace duas linhas em função de β:
– β=±(4–|α|)/2
– β=±(|α|–1)/2
e pegue a região entre as curvas mais restritivas (a menor em módulo).
Se você usar Python/Matplotlib é só preencher essas desigualdades num plot de contorno.