A=(rrr 4 & alpha & 1 2 beta & 5 & 4 beta & 2 & alpha )
Determine as regiões do plano (alpha, beta) in R^2 para as quais:
(a) O critério das linhas é satisfeito.
(b) O critério de Sassenfeld é satisfeito.
Represente graficamente as regiões obtidas.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão dá a matriz
A= 4 & alpha & 1 2beta & 5 & 4 beta & 2 & alpha
e pede duas coisas no plano (alpha,beta):
  1. Para quais valores de (alpha,beta) ela é estritamente diagonalmente dominante por linhas (critério das linhas).
  2. Para quais valores vale o critério de Sassenfeld (usado para convergência do Gauss–Seidel).
    O que vamos usar:
  • Definição de dominância por linhas: |aii|>sumjneq i|aij|, i=1,2,3
    - Definição de Sassenfeld: calcular
    $$\beta_1=\frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|},\quad\beta_2=\frac{|a_{21}|+|a_{23}|\beta_1}{|a_{22}|},\quad\beta_3=\frac{|a_{31}|+|a_{32}|\beta_1}{|a_{33}|},$$
    e exigir beta1=|a12|+|a13||a11|, beta2=|a21|+|a23|beta1|a22|, beta3=|a31|+|a32|beta1|a33|,.
A partir do próximo passo vamos resolver de fato, sem pular etapas.

Passo 2

Critério das linhas: escrevemos para cada linha i
  1. i=1:
|4| > |alpha| + |1|Longrightarrow 4 > |alpha| + 1 Longrightarrow |alpha| < 3 Longrightarrow -3
  1. i=2:
|5| > |2beta| + |4|Longrightarrow 5 > 2|beta| + 4 Longrightarrow 2|beta| < 1 Longrightarrow |beta| < tfrac12
  1. i=3:
|alpha| > |beta| + |2|Longrightarrow |alpha| > |beta| + 2 Longrightarrow alpha > |beta|+2ou alpha < -(|beta|+2)
Logo, a região é a interseção:
-32+|beta| ou alpha<-(2+|beta|)

Passo 3

Critério de Sassenfeld:
  1. Calcular
beta1=|alpha|+14
Exigir beta1<1
|alpha|+14<1 Longrightarrow |alpha|<3 Longrightarrow -3
  1. Em seguida
beta2=|2beta|+4,beta15 =2|beta|+4|alpha|+145 =2|beta|+|alpha|+15
Pedir beta2<1
2|beta|+|alpha|+1<5 Longrightarrow 2|beta|<4-|alpha| Longrightarrow |beta|<4-|alpha|2
  1. E por fim
beta3=|beta|+2,beta1|alpha| =|beta|+2|alpha|+14|alpha| =|beta|+|alpha|+12|alpha|
beta3<1 implica
|beta|+|alpha|+12<|alpha| Longrightarrow |beta|<|alpha|-12 e ainda|alpha|>1
  1. Juntando tudo para Sassenfeld:
-31, |beta|<4-|alpha|2, |beta|<|alpha|-12
Isto é,
$$1<|\alpha|<3\quade\quad
|\beta|<\min!\Bigl(\tfrac{4-|\alpha|}2,;\tfrac{|\alpha|-1}2\Bigr).$$

Passo 4

Representação gráfica (como amigo explicando):
  • Para o critério das linhas, imagine uma faixa vertical -3, um retângulo horizontal |beta|, e dentro dele só as duas “chapas” que estão acima da curva alpha=2+|beta| ou abaixo de alpha=-(2+|beta|).
  • Para Sassenfeld, desenhe as faixas horizontais e verticais 1<|α|<3 e, em cada valor de α, trace duas linhas em função de β:
    – β=±(4–|α|)/2
    – β=±(|α|–1)/2
    e pegue a região entre as curvas mais restritivas (a menor em módulo).
    Se você usar Python/Matplotlib é só preencher essas desigualdades num plot de contorno.

Resposta

(a) Região do critério das linhas:
(alpha,beta):;-32+|beta|;lor;alpha<-(2+|beta|))
(b) Região do critério de Sassenfeld:
(alpha,beta):;1<|alpha|<3,; |beta|

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