[rrr 5 & 2 & -2 3 & 3 & -1 1 & 2 & 5 ][l x1 x2 x3 ]=[l 1 0 0 ]
Verifique se ele satisfaz o critério de linhas e o critério Sassenfeld.
(b) O sistema do item (a) é equivalente ao sistema
[rrr 5 & 1 & 2 -2 & 5 & 2 -1 & 3 & 3 ][l x3 x1 x2 ]=[l 0 1 0 ]
O que você pode afirmar a respeito da convergência do método de Gauss-Seidel para este sistema? Justifique!
© O método de Gauss-Seidel quando aplicado ao sistema do item (a) é convergente? Justifique!

Passo 1

Beleza, então o exercício é sobre um sistema linear
Ax=b, A= 5 & 2 & -2 3 & 3 & -1 1 & 2 & 5 ,; b=(1,0,0)^T
a) Queremos ver se ele é diagonal‐dominante pelas linhas (“critério de linhas”) e satisfaz o critério de Sassenfeld.
b) Nos dão um sistema equivalente, mas com as variáveis trocadas de ordem, e nos perguntam se Gauss–Seidel converge nele.
c) Finalmente, perguntam se Gauss–Seidel converge no sistema original.
Para isso precisamos entender:
  • Critério de linhas (dominância diagonal): |aii|>sumjneq i|aij|.
  • Critério de Sassenfeld: definir os coeficientes betai e checar se todos betai<1.

Passo 2

Aplicando o critério de linhas ao sistema original:
Linha 1:
|a11|=5,sumjneq1|a1j|=|2|+|-2|=4,5>4 checkmark
Linha 2:
|a22|=3,sumjneq2|a2j|=|3|+|-1|=4,3not>4 times
Linha 3:
|a33|=5,sumjneq3|a3j|=|1|+|2|=3,5>3 checkmark
Como a linha 2 não é estritamente dominante, o sistema não satisfaz o critério de linhas.

Passo 3

Agora o critério de Sassenfeld. Definimos
beta1=|a12|+|a13||a11|, beta2=|a21|beta1+|a23||a22|, beta3=|a31|beta1+|a32|beta2|a33|
Calculando:
beta1=2+25=0.8,
beta2=3cdot0.8+13=2.4+13=1.133ldots,
beta3=1cdot0.8+2cdot1.133ldots5 =0.8+2.266ldots5=0.613ldots
Repare que beta2>1, então não satisfaz o critério de Sassenfeld.

Passo 4

Item (b): o sistema é equivalente se a gente permuta as variáveis para a ordem (x3,x1,x2), ficando
A'=(a'ij)= 5 & 1 & 2 -2& 5 & 2 -1& 3 & 3 , x3x1x2 =010
Vamos direto ao critério de Sassenfeld em A', usando agora a ordem nova:
beta'1=|1|+|2|5=0.6,
beta'2=|-2|cdot0.6+|2|5=1.2+25=0.64,
beta'3=|-1|cdot0.6+|3|cdot0.643 =0.6+1.923=0.84
Como todas beta'i<1, Gauss–Seidel converge para esse sistema permutado.

Passo 5

Item ©: queremos saber se Gauss–Seidel converge no sistema original.
Mas vimos no Passo 3 que o critério de Sassenfeld falha (pois beta2>1), e também não há dominância pelas linhas completa.
Logo, não há garantia de convergência pelo critério clássico e, na prática, o método não converge.

Resposta

(a) O sistema não satisfaz nem o critério de linhas nem o de Sassenfeld.
(b) No sistema equivalente (com variáveis na ordem x3,x1,x2), Gauss–Seidel converge (pois beta'i<1).
© No sistema original, Gauss–Seidel não converge (critério de Sassenfeld falha).

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