(RÚSSIA/1952) Prove que: 17^14>31^11.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente prove que
17^14 ;>; 31^11
Isso cai na matéria de desigualdades entre potências e uso de propriedades de expoentes. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Lembrar a lei de potência .
  2. Comparar números usando potências de base 2 (porque fica fácil ver quem é maior).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever 17^14 = l(17^2r)^7 = 289^7 de um jeito que facilite a comparação com potências de 2:
Aqui usei com , , .

Passo 3

Agora, note que
289 = 17^2 > 256 = 2^8
Como 289^7 > (2^8)^7 = 2^8cdot7 = 2^56 e estamos elevando cada um à sétima potência, vale
17^14 = 289^7 > 2^56
Ou seja,

Passo 4

Do outro lado, olhe para 31^11 < (2^5)^11 = 2^5cdot11 = 2^55 . Como 31^11 < 2^55 , temos
Então

Resposta

Juntando tudo:
17^14 > 2^56 > 2^55 > 31^11,
logo provamos que
boxed17^14 > 31^11

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