(RÚSSIA/1952) Prove que:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente prove que
Isso cai na matéria de desigualdades entre potências e uso de propriedades de expoentes. Para resolver, a gente vai precisar:
- Lembrar a lei de potência
. - Comparar números usando potências de base 2 (porque fica fácil ver quem é maior).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de um jeito que facilite a comparação com potências de 2:
Aqui usei
com
,
,
.
Passo 3
Agora, note que
Como
e estamos elevando cada um à sétima potência, vale
Ou seja,
Passo 4
Do outro lado, olhe para
. Como
, temos
Então
Resposta
Juntando tudo:
logo provamos que