Sabe-se que f(x)=5 x^3-3 x^2+2 x-2 tem um zero no intervalo [0,1]. Usando interpolação inversa sobre uma tabela de 3 pontos, determinar aproximadamente barx correspondente a f(barx)=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a função
f(x)=5x^3-3x^2+2x-2
tem uma raiz em [0,1]. A ideia é usar interpolação inversa com 3 pontos (ou seja, a gente monta uma tabela (xi,f(xi)), mas troca o papel de x e f(x) e faz Lagrange “ao contrário”) pra achar bar xtal que f(bar x)=0,
Conteúdo: Métodos Numéricos – interpolação inversa (polinômio de Lagrange). Vamos precisar de:
1) calcular f(x) em 3 pontos;
2) escrever o polinômio inverso de Lagrange;
3) avaliar em f=0.

Passo 2

Primeiro escolhemos três pontos em [0,1], por exemplo
x0=0, x1=0.5, x2=1
e calculamos
f(x0)=f(0)=-2, f(x1)=f(0.5)=-1.125, f(x2)=f(1)=2,
Agora invertendo, tratamos (yi,xi) com yi=f(xi).

Passo 3

O polinômio inverso de Lagrange é
$$x(y)=\sum_{i=0}^2 x_i;\ell_i(y),\quadonde\quad
\ell_i(y)=\prod_{j\neq i}\frac{y-y_j}{y_i-y_j},. x(y)=sumi=0^2 xi;elli(y),,onde elli(y)=prodjneq iy-yjyi-yj, ôó\bar x = \sum_{i=0}^2 x_i ;\ell_i(0),. $$

Passo 4

Calculando cada elli(0):
$$\ell_0(0)=\frac{(0-(-1.125))(0-2)}{(-2-(-1.125))(-2-2)}
=\frac{1.125\cdot(-2)}{(-0.875)\cdot(-4)}=-0.642857, $$
$$\ell_1(0)=\frac{(0-(-2))(0-2)}{(-1.125-(-2))(-1.125-2)}
=\frac{2\cdot(-2)}{0.875\cdot(-3.125)}=1.462321, $$
$$\ell_2(0)=\frac{(0-(-2))(0-(-1.125))}{(2-(-2))(2-(-1.125))}
=\frac{2\cdot1.125}{4\cdot3.125}=0.18,. ell0(0)=(0-(-1.125))(0-2)(-2-(-1.125))(-2-2) =1.125cdot(-2)(-0.875)cdot(-4)=-0.642857,, \bar x
=0\cdot(-0.642857)+0.5\cdot1.462321+1\cdot0.18
\approx0.9112,. $$

Resposta

A raiz aproximada via interpolação inversa de Lagrange (3 pontos) é
boxedbar xapprox0.9112,

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