Sabe-se que
tem um zero no intervalo [0,1]. Usando interpolação inversa sobre uma tabela de 3 pontos, determinar aproximadamente
correspondente a
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a função
tem uma raiz em
. A ideia é usar interpolação inversa com 3 pontos (ou seja, a gente monta uma tabela
, mas troca o papel de
e
e faz Lagrange “ao contrário”) pra achar
Conteúdo: Métodos Numéricos – interpolação inversa (polinômio de Lagrange). Vamos precisar de:
1) calcular em 3 pontos;
2) escrever o polinômio inverso de Lagrange;
3) avaliar em .
Conteúdo: Métodos Numéricos – interpolação inversa (polinômio de Lagrange). Vamos precisar de:
1) calcular
2) escrever o polinômio inverso de Lagrange;
3) avaliar em
Passo 2
Primeiro escolhemos três pontos em
, por exemplo
e calculamos
Agora invertendo, tratamos
com
.
Passo 3
O polinômio inverso de Lagrange é
$$x(y)=\sum_{i=0}^2 x_i;\ell_i(y),\quadonde\quad
\ell_i(y)=\prod_{j\neq i}\frac{y-y_j}{y_i-y_j},.
\bar x = \sum_{i=0}^2 x_i ;\ell_i(0),. $$
Passo 4
Calculando cada
:
$$\ell_0(0)=\frac{(0-(-1.125))(0-2)}{(-2-(-1.125))(-2-2)}
=\frac{1.125\cdot(-2)}{(-0.875)\cdot(-4)}=-0.642857, $$
$$\ell_1(0)=\frac{(0-(-2))(0-2)}{(-1.125-(-2))(-1.125-2)}
=\frac{2\cdot(-2)}{0.875\cdot(-3.125)}=1.462321, $$
$$\ell_2(0)=\frac{(0-(-2))(0-(-1.125))}{(2-(-2))(2-(-1.125))}
=\frac{2\cdot1.125}{4\cdot3.125}=0.18,.
\bar x
=0\cdot(-0.642857)+0.5\cdot1.462321+1\cdot0.18
\approx0.9112,. $$
Resposta
A raiz aproximada via interpolação inversa de Lagrange (3 pontos) é