Sabemos que em aritmética de ponto flutuante um número x é representado por x= pm d1 d2 cdots dt times beta^e com 0 <= dj <= beta-1. A tabela abaixo ilustra os dígitos para algumas bases beta
beta dj in A
2 A=0,1
3 A=0,1,2
vdots vdots
10 A=0,1, cdots, 9
11 A=0,1, cdots, 9, A
vdots vdots
16 A=0,1, cdots, 9, A, B, cdots, F
Baseado nisso, complete as tabelas de multiplicações abaixo
a)
beta=3 0 1 2
0
1
2 11
b)
beta=8 0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2 16
3
4 20
5
6
7 61
c) Faça para beta=16

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Ele quer que a gente complete tabelas de multiplicação em bases diferentes:
  • a) em base beta=3
  • b) em base beta=8
  • c) em base beta=16
Matéria: aritmética em diferentes bases. Para resolver, precisamos saber como multiplicar dois algarismos numa base qualquer: a gente multiplica normalmente em decimal e depois converte o resultado para a base beta desejada, lembrando que cada “casa” vale potência de beta.

Passo 2

Teoria básica de multiplicação em base beta:
  1. Multiplique os dois dígitos como se fosse decimal.
  2. Pegue o resultado (em decimal) e converta para base beta, dividindo sucessivamente por beta e anotando os restos.
  3. Escreva esses restos de baixo para cima, e esse é o produto na base desejada.
Exemplo rápido em base 3:
Se eu quiser 2times2, faço 2cdot2=4 (decimal).
Para converter 4 para base 3:
4÷3 dá quociente 1 resto 1, depois 1÷3 dá quociente 0 resto 1.
Lendo de baixo pra cima, fica 113.

Passo 3

Vamos preencher a tabela 3×3. Lembra que os dígitos possíveis são 0,1,2.
beta=3 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 11
Detalhes:
  • 1times2=2 já cabe em base 3.
  • 2times2=410=113 (como mostrei acima).

Passo 4

Agora tabela 8×8, dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7. Vamos multiplicar cada par e converter para octal:
beta=8 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7
2 0 2 4 6 10 12 14 16
3 0 3 6 11 14 17 22 25
4 0 4 10 14 20 24 30 34
5 0 5 12 17 24 31 36 43
6 0 6 14 22 30 36 44 52
7 0 7 16 25 34 43 52 61
Como checagem, dê uma olhada em 3times3=910=118, ou 6times7=4210=528.

Passo 5

Aqui os dígitos são 0,1,dots,9,A,B,C,D,E,F. A lógica é a mesma: multiplica em decimal e converte pra hexadecimal.
beta=16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
2 0 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E
3 0 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D
4 0 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C
5 0 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B
6 0 6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A
7 0 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69
8 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78
9 0 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87
A 0 A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96
B 0 B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5
C 0 C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4
D 0 D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3
E 0 E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2
F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1

Resposta

As três tabelas acima são o que o exercício pedia, completinhas nas bases 3, 8 e 16.

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