Quando tem-se um número numa base diferente de 10 e deseja-se transformar para uma outra base é usual primeiro transformar para a base 10, onde normalmente estamos habituados a operar e depois tranformar para a nova base, por exemplo, qual a representação de x=(23)4 na base b=5 ? O procedimento é como segue: 1o.: representação na base 10: (23)4=2 times 4^1+3 times 4^0=8+3=1110
2o.: mudança da base 10 para a base 5: 1110=215
Portanto (23)4=(21)5. Faça o mesmo procedimento para os números abaixo
a) (234)5=(?)7
b) (234)6=(?)2
c) (12345)8=(?)16
d) (456.45)7=(?)9

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente pegar uns números escritos em bases diferentes (5, 6, 8, 7) e passar pra outras bases (7, 2, 16, 9). Isso cai em “conversão de bases”. O esquema geral é:
  1. Converter da base original pra base 10 usando multiplicação de cada dígito por b^n.
  2. Converter de base 10 pra base de destino usando divisão sucessiva (ou, no caso de parte fracionária, multiplicação sucessiva).

Passo 2

a) Converter (234)5 para base 7.
  1. Pra base 10:
(234)5 ;=;2cdot5^2+3cdot5^1+4cdot5^0 ;=;2cdot25+3cdot5+4 ;=;50+15+4 ;=;6910
  1. De 69 em base 10 pra base 7:
  • 69div7=9 resto 6
  • 9div7=1 resto 2
  • 1div7=0 resto 1
Lendo de baixo pra cima, dá (126)7.

Passo 3

b) Converter (234)6 para base 2.
  1. Pra base 10:
(234)6 =2cdot6^2+3cdot6^1+4cdot6^0 =2cdot36+3cdot6+4 =72+18+4 =9410
  1. De 94 10 pra base 2:
  • 94div2=47 r 0
  • 47div2=23 r 1
  • 23div2=11 r 1
  • 11div2=5 r 1
  • 5div2=2 r 1
  • 2div2=1 r 0
  • 1div2=0 r 1
Lendo de baixo pra cima: (1011110)2.

Passo 4

c) Converter (12345)8 para base 16.
  1. Pra base 10:
(12345)8 =1cdot8^4+2cdot8^3+3cdot8^2+4cdot8^1+5cdot8^0 =4096+1024+192+32+5 =534910
  1. De 5349 10 pra base 16:
  • 5349div16=334 r 5
  • 334div16=20 r 14 (que é E em hex)
  • 20div16=1 r 4
  • 1div16=0 r 1
Lendo de baixo pra cima: (14E5)16.

Passo 5

d) Converter (456.45)7 para base 9.
  1. Parte inteira pra decimal:
(456)7 =4cdot7^2+5cdot7^1+6cdot7^0 =196+35+6 =23710
  1. Parte fracionária pra decimal:
457 =4cdot7^-1+5cdot7^-2 =47+549 =28+549 =3349approx0,673469
  1. Agora inteiro 237 10 pra base 9:
  • 237div9=26 r 3
  • 26div9=2 r 8
  • 2div9=0 r 2
Inteiro = (283)9.
4) Fração 0,673469ldots pra base 9 usando multiplicação sucessiva:
  • 0,673469times9=6,061221to dígito 6, sobra 0,061221
  • 0,061221times9=0,550989to dígito 0, sobra 0,550989
  • 0,550989times9=4,958901to dígito 4, sobra 0,958901
  • 0,958901times9=8,630109to dígito 8, sobra 0,630109
    (se quiser, continua até enjoar)
Fraçã o ≈ (6048)9 depois do ponto.
Juntando: (283.6048)9 (aprox.).

Resposta

a) (234)5=(126)7
b) (234)6=(1011110)2
c) (12345)8=(14E5)16
d) (456.45)7approx(283.6048)9

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