Qual o número de iterações necessárias para calcular uma raiz no intervalo [2,7], pelo método da Bisseção,
?
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado pergunta: “Quantas iterações precisamos para achar uma raiz no intervalo
usando o método da Bisseção, de modo que o erro seja no máximo
?”
Conteúdo: método da Bisseção e sua fórmula de número de iterações.
O que vamos precisar: a fórmula que relaciona o tamanho do intervalo inicial, o erro desejado e o número mínimo de iterações .
Conteúdo: método da Bisseção e sua fórmula de número de iterações.
O que vamos precisar: a fórmula que relaciona o tamanho do intervalo inicial, o erro desejado e o número mínimo de iterações
Passo 2
Teoria do Método da Bisseção (explicadinha):
A ideia é cortar o intervalo ao meio a cada iteração. Depois de cortes, o comprimento do intervalo onde a raiz está é
.
Para garantir que esse intervalo restante seja menor ou igual a , a gente impõe:
A ideia é cortar o intervalo ao meio a cada iteração. Depois de
Para garantir que esse intervalo restante seja menor ou igual a
Isso significa que, após
passos, o erro máximo (tamanho do intervalo) não ultrapassa
.
Passo 3
Agora é só resolver a desigualdade para
.
- Começa isolando
:
- Tira logaritmo base 2 dos dois lados:
- Substitui
, e :
- Calcula numericamente (sabendo que
):
- Como
tem que ser inteiro e satisfazer a desigualdade, a gente arredonda para cima:
Resposta
São necessárias 23 iterações.