Qual o número de iterações necessárias para calcular uma raiz no intervalo [2,7], pelo método da Bisseção, com epsilon=0,000001 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pergunta: “Quantas iterações precisamos para achar uma raiz no intervalo usando o método da Bisseção, de modo que o erro seja no máximo ?”
Conteúdo: método da Bisseção e sua fórmula de número de iterações.
O que vamos precisar: a fórmula que relaciona o tamanho do intervalo inicial, o erro desejado e o número mínimo de iterações .

Passo 2

Teoria do Método da Bisseção (explicadinha):
A ideia é cortar o intervalo ao meio a cada iteração. Depois de b - a2^n <= epsilon cortes, o comprimento do intervalo onde a raiz está é .
Para garantir que esse intervalo restante seja menor ou igual a , a gente impõe:
Isso significa que, após passos, o erro máximo (tamanho do intervalo) não ultrapassa .

Passo 3

Agora é só resolver a desigualdade para 2^n >= b - aepsilon .
  1. Começa isolando n >= log2!l(tfracb - aepsilonr) :
n >= log2!l(tfrac7-210^-6r) = log2(5 times 10^6)
  1. Tira logaritmo base 2 dos dois lados:
log10(5 times 10^6) = log10(5) + 6 approx 0,699 + 6 = 6,699,
  1. Substitui n >= 6,699log10(2) approx 6,6990,3010 approx 22,26 , n = lceil 22,26 rceil = 23 e :
  1. Calcula numericamente (sabendo que ):
  1. Como tem que ser inteiro e satisfazer a desigualdade, a gente arredonda para cima:

Resposta

São necessárias 23 iterações.

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